數學問題－一條線能否同時平分三角形的周長與面積

1. 等腰三角形只要頂角平分線即可!
2. 一般三角形(可能理論一點,請用心看喔!)
(1)直線有二個參數,斜率m(或法向量,斜角),截距b
(2)給固定斜率m, 而b改變時(直線平行移動),則三角形面積被
切割出(比例) 0~ 1, 此比例為b之函數(顯然為連續函數),
故適當b值(唯一)時,三角形面積可被平分為 1/2
此時 b為m之函數b(m),且b為m之連續函數(因三角形為有限區域)
(3)當m改變時,三角形周長被分割出的比例亦可由 0~ 1,
由連續函數的中間值定理知: 必有適當m值,
使得周長被分割出的比例 = 1/2
故(理論上)可以找到直線使三角形面積與周長同時被平分

2009-01-29 17:40:48 補充：
有時候很簡單的問題,其解答方法可能不簡單!
我已經用很白的話講了,看看是否有人可以用您聽得懂的語言解釋囉!

給002
小三角形的周長不是大三角形周長的一半
面積一半是對的

小祐祐大大
請問你在做甚麼？
複製 rex大大的回答？

小學生真的很難理解 我以實際例子解釋


對一個三角形ABC,AB=5,AC=6, BC=7


在AB上取一點P, AC上取一點Q, AP=a, AQ=b,PQ=c


三角形ABC面積=1/2*AB*AC*sinA=2*三角形APQ-->


ab=1/2*5*6=15 又根據餘弦定理


cosA=(52+62-72)/(2*5*6)=1/5=(a2+b2-c2)/(2ab)


a2+b2-c2=6


a+b+c=(5+6+7)/2=9


ab=15


可以解出至少一組(a,b,c) 所以這條線是存在的

不會是你們老師給的科展題目吧?

小學生真的很難理解 我以實際例子解釋
對一個三角形ABC,AB=5,AC=6, BC=7
在AB上取一點P, AC上取一點Q, AP=a, AQ=b,PQ=c
三角形ABC面積=1/2*AB*AC*sinA=2*三角形APQ-->
ab=1/2*5*6=15 又根據餘弦定理
cosA=(52+62-72)/(2*5*6)=1/5=(a2+b2-c2)/(2ab)
a2+b2-c2=6
a+b+c=(5+6+7)/2=9
ab=15
可以解出至少一組(a,b,c) 所以這條線是存在的

2009-02-01 21:27:27 補充：
給天助 你說的對 是我看錯題目了
題目是說這條線將三角形的周長分為兩半
-->a+b=(5+6+7)/2=9, ab=15-->a,b為 x^2-9x+15=0的兩根
且對於任一角都應該有一組解

2009-02-02 19:54:29 補充：
我說了 是我看錯題目了

你所指的三角形，是任意三角形還是甚麼？

若你要的只是一個特例，那就容易了。

對於等邊三角形，它的任意一條高也平分它的周界和面積。

正三角形與等腰三角形一定可以
這條線是底邊上的高
因為他垂直平分底邊

2009-01-29 16:51:20 補充：
等腰三角形底邊上的高
1.垂直平分底邊--周長同
2.可分出2個全等的直角三角形--面積同