f.3 volume problem

現在像你肯深入思考的學生已是很難得了,有學生願意問這個問題確實很令人感動!希望你繼續保持這種求眞的精神!
以下介紹一個十分簡明直觀的漂亮證法,尤其適合中學生,其主要思想只涉及F.3Maths的一個簡單原理 : 『兩個相似立體體積比 = 其對應邊長之比的3次方』

以下是以直立正方錐體(塔尖垂直於正方底中心)為對象作出的證明,其思路是透過分解方錐去建立一條關於其體積V的一個簡單方程,從而直接解出V的公式。

設直立正方錐的底邊長B,高為h,求證其體積 V=1/3 * B^2 * h

證 : 在方錐的半高處(h/2)以平行於底面切開,把方錐分成一個小方錐和一個平截頭體,小方錐的底邊邊長B/2(原方錐底邊長的1/2)並相似於原方錐,由上述原理,小方錐體積 : V = 1 : 8,即小方錐體積 = V/8...........Ⅰ

在平截頭體內,首先划分出一個以平截頭體頂面為頂面,高為h/2(和平截頭體同高)的正方柱體,(請自畫草圖),
其體積為(B/2)^2 * h/2
= B^2 * h / 8....................Ⅱ

現在平截頭體底面成一『回』字形,延長『回』字中間小口的四條邊,令其底面分成『井』字形,則容易看出,沿『井』字的四個角可從平截頭體分解出四個以『井』角的正方為底,高為h/2的錐體,它們四個剛好能合成一個底邊長為B/2,高為h/2的直立正方錐,即和上面切出的那個完全一樣,
體積為 V/8......................Ⅲ

剩下的還有四個直角三角柱體,它們每一個的橫面都是一個底為B/4,高為h/2的直角三角形,長是B/2,
所以它們體積和 = 1/2 * B/4 * h/2 * B/2 * 4
= B^2 * h / 8 ..........................Ⅳ
關於以上平截頭體的大致分解可參看:

http://www.chiculture.net/0803/html/b06/0803b06.html

這雖然不是一個標准的平截頭體,但上述的四個角錐和四個直角三角柱和這個圖所示的是一樣的。(揾唔到圖請見諒)

現在將要列出關於V的方程 :

Ⅴ = Ⅰ + Ⅱ + Ⅲ + Ⅳ

Ⅴ = Ⅴ/8 + B^2 * h / 8 + Ⅴ/8 + B^2 * h / 8

8Ⅴ = Ⅴ + B^2 * h + Ⅴ + B^2 * h

6Ⅴ = 2 * B^2 * h

Ⅴ = 1/3 * B^2 * h

命題得證!

以上是針對直立正方錐體的證明,但事實上,只要結合祖氏原理(任何等高的兩個立體,若果它們任何同高處的橫切面面積皆一樣,則兩立體體積相等),則已可解決所有錐體的體積問題。
例如求一個圓錐體積,可作一個底面積等如圓錐底面面積,而高和圓錐相同的直立正方錐,由祖氏原理證得它們體積相等,再利用以上方法求得方錐體積為1/3 A h,則由於圓錐底面積同樣是A,所以
圓錐體積同樣是1/3 A h。

最後就是想說說那些利用水去量度立體體積的所謂證法,這種方法用於實際的體積測量的確是一種極好的快捷方法;但是絕對不能夠把這種方法等同於理論上的嚴格證明,要知道任何測量都必存在誤差,你在量杯中看到水位是三分一,就說錐體體積是1/3Ah,那我要問你,你的量杯有多精確?你怎知道是1/3而不是1/2.999或不是1/3.001? 因此必須要有一個嚴格的理論證明,實驗歸實驗,絕不能代替理論!不過也不可否定實驗的價值,透過實驗才容易看出規律,才能引導出相關的理論,兩者是相輔相承,理論要聯繫實際。不幸的是好多學生甚至是教師都滿足於實驗證明,完全缺乏科學嚴謹的意識和態度,連課本都只是像交差般列出一大堆公式,完全不懂在適當時機啟發學生思考,造就了一群不求甚解的學生,抑壓並害苦了肯認真思考的學生,真令人感概香港數學教育的失敗。

要知道錐體體積公式由來﹐最好看看臺灣大學數學系　張海潮教授的祖氏原理與錐體體積公式
http://www.ck.tp.edu.tw/xoops/custom/resource/article9704_1.doc
大意是一個陽馬(四角錐體)均源自對長方體的解剖。任取一個長方體﹐
V是長方體的一個頂點，長方體有六個面，其中有三個面包含V點，有三個面不包含V點，將V點對後三個面各自張一個錐：VABCD、VSBCT、VUDCT。這三個方錐都是陽馬，三個陽馬剛好合成原來的長方體，陽馬與陽馬之間的介面是一個三角形。當長方體是正方體時，上述三個陽馬彼此全等，每一個陽馬的體積是正方體的 1/3，也就是說等於 (1/3)*底面積*高。
至於解剖長方體成三個陽馬，通常不會全等，因此無法直接得出 (1/3)*底面積*高的體積公式，下面對 (1/3)*底面積*高 的公式提出一個證明，證明的過程要用到祖沖之原理。
祖沖之原理若是用到錐體，內容是說：底面積相等，高也相等的兩個錐體，體積相等。
回到長方體決定的三個陽馬VABCD、VSBCT、VUDCT﹐用祖沖之原理可以証到它們體積相等﹐故錐體體積公式=(1/3)Ah

錐體體積=1/3Ah
而正方柱體=Ah
只要你自己設計一個體積係10cm*3既錐體
之後準備一個體積為30cm*3既正方柱體
之後你注入水入錐體
之後再倒入正方柱體你就明白