非一般的幾何題（水杯與飲管）

To HK:
絕不可能一步過做到的

2009-02-06 12:08:36 補充：
感謝樓主的 hints, 終於 KO 此題了, 惟製作需時, 請等等.

2009-02-06 13:33:53 補充：
首先, 將杯與飲管的橫切面觀看成:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Feb09/Doraemon1.jpg

此橫切面乃沿杯頂的圓心垂直切至杯底的圓心. 而當飲管被放入杯中時, 其最大橫切面 (即沿管口的直徑垂直切) 亦在此杯的橫切面上如下:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Feb09/Doraemon2.jpg

設當飲管的放法令到該飲管陷入杯內的長度為最大時, 它與杯底的夾角為 α, 其中 α < θ, 將圖中右面較小的三角形應用正弦定律 (sine law) 時可得出:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Feb09/Doraemon3.jpg

然後再於左方較大的三角形應用正弦定律, 而將以上 x 的表達式代入後, 可得出:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Feb09/Doraemon4.jpg

首先, 將杯與飲管的橫切面觀看成:



此橫切面乃沿杯頂的圓心垂直切至杯底的圓心. 而當飲管被放入杯中時, 其最大橫切面 (即沿管口的直徑垂直切) 亦在此杯的橫切面上如下:



設當飲管的放法令到該飲管陷入杯內的長度為最大時, 它與杯底的夾角為 α, 其中 α < θ, 將圖中右面較小的三角形應用正弦定律 (sine law) 時可得出:



然後再於左方較大的三角形應用正弦定律, 而將以上 x 的表達式代入後, 可得出:

哇! 非常人!

題目講到明「答案以準確值來表示」，就已經意味著唔可以take任何assumption和approximation，包括：
1. 唔可以以「飲管diameter << 杯底diameter」之類的理由當飲管沒有diameter而變成一條直線。
2. 唔可以當接觸水杯那邊的飲管口有削過使其能完全接觸杯邊和/或杯底。再一次強調，飲管是圓柱形，故此飲管口與飲管壁總是形成直角。

2009-02-05 19:09:31 補充：
事實上，這條題目可化成平面來考慮。

不過，這平面必定是沿著飲管的中心、杯面和杯底的圓心的垂直切面。這會形成：

一大一細尖對尖的三角形，而該兩個三角形各只有一條邊連成一條直線，而該直線的總長度正好是杯底的內直徑。

arctan{12/[((7-0.25)-(5.5-0.25))/2+(5.5-0.25)]}
=arctan{12/[(6.75-5.25)/2+5.25]}
=arctan{12/[1.5/2+5.25]}
=arctan{12/[0.75+5.25]}
=arctan{12/[6]}
=arctan{2}
=63.4350(degree)