非一般的幾何題（水杯與飲管）
2009-01-24 2:20 am
在一個頂部內直徑為7 cm，底部內直徑為5.5 cm，內高度為12 cm的圓形平截頭體水杯中，放了一支外直徑為5 mm的圓柱形飲管。如果該飲管的放法令到該飲管陷入杯內的長度為最大且該飲管的長度無論在杯內任何的放法都足以令到該飲管有部分突出在杯頂上，求飲管與杯底的夾角。答案以準確值來表示。
回答 (5)
2009-02-06 9:33 pm
✔ 最佳答案
To HK:絕不可能一步過做到的
2009-02-06 12:08:36 補充：
感謝樓主的 hints, 終於 KO 此題了, 惟製作需時, 請等等.
2009-02-06 13:33:53 補充：
首先, 將杯與飲管的橫切面觀看成:
圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Feb09/Doraemon1.jpg
此橫切面乃沿杯頂的圓心垂直切至杯底的圓心. 而當飲管被放入杯中時, 其最大橫切面 (即沿管口的直徑垂直切) 亦在此杯的橫切面上如下:
圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Feb09/Doraemon2.jpg
設當飲管的放法令到該飲管陷入杯內的長度為最大時, 它與杯底的夾角為 α, 其中 α < θ, 將圖中右面較小的三角形應用正弦定律 (sine law) 時可得出:
圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Feb09/Doraemon3.jpg
然後再於左方較大的三角形應用正弦定律, 而將以上 x 的表達式代入後, 可得出:
圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Feb09/Doraemon4.jpg
參考: My Maths knowledge
2009-02-07 12:43 am
首先, 將杯與飲管的橫切面觀看成:
此橫切面乃沿杯頂的圓心垂直切至杯底的圓心. 而當飲管被放入杯中時, 其最大橫切面 (即沿管口的直徑垂直切) 亦在此杯的橫切面上如下:
設當飲管的放法令到該飲管陷入杯內的長度為最大時, 它與杯底的夾角為 α, 其中 α < θ, 將圖中右面較小的三角形應用正弦定律 (sine law) 時可得出:
然後再於左方較大的三角形應用正弦定律, 而將以上 x 的表達式代入後, 可得出:
此橫切面乃沿杯頂的圓心垂直切至杯底的圓心. 而當飲管被放入杯中時, 其最大橫切面 (即沿管口的直徑垂直切) 亦在此杯的橫切面上如下:
設當飲管的放法令到該飲管陷入杯內的長度為最大時, 它與杯底的夾角為 α, 其中 α < θ, 將圖中右面較小的三角形應用正弦定律 (sine law) 時可得出:
然後再於左方較大的三角形應用正弦定律, 而將以上 x 的表達式代入後, 可得出:
2009-02-06 10:17 pm
哇! 非常人!
2009-02-06 2:52 am
題目講到明「答案以準確值來表示」，就已經意味著唔可以take任何assumption和approximation，包括：
1. 唔可以以「飲管diameter << 杯底diameter」之類的理由當飲管沒有diameter而變成一條直線。
2. 唔可以當接觸水杯那邊的飲管口有削過使其能完全接觸杯邊和/或杯底。再一次強調，飲管是圓柱形，故此飲管口與飲管壁總是形成直角。
2009-02-05 19:09:31 補充：
事實上，這條題目可化成平面來考慮。
不過，這平面必定是沿著飲管的中心、杯面和杯底的圓心的垂直切面。這會形成：
一大一細尖對尖的三角形，而該兩個三角形各只有一條邊連成一條直線，而該直線的總長度正好是杯底的內直徑。
1. 唔可以以「飲管diameter << 杯底diameter」之類的理由當飲管沒有diameter而變成一條直線。
2. 唔可以當接觸水杯那邊的飲管口有削過使其能完全接觸杯邊和/或杯底。再一次強調，飲管是圓柱形，故此飲管口與飲管壁總是形成直角。
2009-02-05 19:09:31 補充：
事實上，這條題目可化成平面來考慮。
不過，這平面必定是沿著飲管的中心、杯面和杯底的圓心的垂直切面。這會形成：
一大一細尖對尖的三角形，而該兩個三角形各只有一條邊連成一條直線，而該直線的總長度正好是杯底的內直徑。
2009-01-24 10:02 am
arctan{12/[((7-0.25)-(5.5-0.25))/2+(5.5-0.25)]}
=arctan{12/[(6.75-5.25)/2+5.25]}
=arctan{12/[1.5/2+5.25]}
=arctan{12/[0.75+5.25]}
=arctan{12/[6]}
=arctan{2}
=63.4350(degree)
=arctan{12/[(6.75-5.25)/2+5.25]}
=arctan{12/[1.5/2+5.25]}
=arctan{12/[0.75+5.25]}
=arctan{12/[6]}
=arctan{2}
=63.4350(degree)
收錄日期: 2021-04-11 17:25:31
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090123000051KK01327