1條F.4培正數學比賽問題.. 有關幾何

AD = 2 是多餘的條件,是出題者的迷惑手段,真可惡啊!

2009-01-24 12:58:43 補充：
002eelyw博士的解法中把『B』和『D』調轉了!

2009-01-24 13:27:47 補充：
以下是一個非常簡捷的解法 :
設AB中點為O,
DC中點為M,
則OM是梯形ABCD的中線,設梯形的高為h
則 梯形ABCD面積 = OM * h
考慮△ODM,若以OM為底,則高為 h/2,面積=1/2 * OM * h/2
=1/4 * OM * h
即△ODM的面積是梯形面積的四分之一,
又△ODM的面積 = 1/2 * DM * OE
= 1/2 * 7 * 7
= 49/2
所以梯形ABCD面積 = 4 * 49/2
= 98

Let O be centre of the semicircle.
M be the mid-point of BC.
X be the point on DC such that AX is perpendicular to DC.
Area of trapezium = area of rectangle with AX as height and OM as width = AX x OM
Triangle ADX is similar to triangle OME.
Therefore, AD/AX = OM/OE
so AX x OM = AD x OE = 14 x 7 = 98.

設BC和半圓的交點為F、AB的中點為O。
畫出以AB為直徑的另外一邊半圓。延長DA，交圓於G。
AD平行BC，所以角ABC=角BAG。
因AB為直徑，所以角AFB=角BGA=90度
所以三角形ABF 全等 三角形BAG (AAS)
所以AG=BF。
因為AG//BF，AG=BF，所以AGBF為一平行四邊形。
又因為角AFB=90度，所以AGBF為一長方形。
所以三角形ABF 全等 三角形FGA。
所以ABCD的面積 = GFCD的面積。
.

注意GF=AB=DC，
角GFB=角ABF=角DCB，所以GF//DC。
所以GFCD為一平行四邊形。
再注意因為DC為圓的切線，所以角OEC=90度。
所以GFCD的面積 = CD．OE = 14．7 = 98。