1條F.4培正數學比賽問題.. 有關數字

設 N =13174182956659712633。已知N 是一個18 位數，而0 至9 十個數字當中其中九個在N 的18 個數字裏各出現了兩次。求N 的數字之和。 （5 分）
Let N =13174182956659712633. It is known that N is an 18-digit number,with nine of the ten digits from 0 to 9 each appearing twice. Find the sum of thedigits of N. (5 marks)
<解法一>
設M 是N 的18個位數數字和,因為數字裏各出現了兩次, 故M 為偶數.
72≦ M≦ 90,理由最大=2(1+2+3+...+8+9)=90,最小=2(0+1+2+3+...+8)=72
考慮　：任何數目a與其位數數字和，對９是同餘, 例子:48≡4+8≡3(mod9),
123≡1+2+3≡6(mod9)...等等.
∴M≡N(mod9) => N=13174182956659712633≡4 8 5 1 8=1280≡2≡M(mod9),
72≦ M≦ 90,故M=74 或 83,由於M 為偶數,∴M=74.

<解法二>
Step1.N的數字和
≡４（－１）（５）（１）（－１）(mod9)
≡２０(mod9)
≡２(mod9)
0 至9 十個數字,當中其中九個在N 的18 個數字裏各出現了兩次
表示0 至9 十個數字中有一個數字沒有出現
Step2.∵２(mod9)＝１＋１　∴表示８沒有出現 (這步很妙)
Step3.所求＝２＊（１＋～９）－２＊８＝９０－１６＝７４