導函數與定積分求值

1)
用別人的提示：
f(x) = (x^2 -1)^n = (x-1)^n (x+1)^n = u^n v^n
L'(x)
= d^(n+1)/dx^(n+1) [f(x)]
= 0 + C(n+1, 1) (n!) nv^(n-1) + { 包括 u 的項}
所以，
L'(1) = (n+1)! n*2^(n-1)

2)
假設 w'= xv，那麼
(xw) ' = w + xw' = w + x^2 v
(xw) '' = w' + 2xv +x^2v' = x(3v + xv') … (*)
現在，
f' (x) = 2x(x^2 -1)^(n-1) = xw
重覆應用(*)，當 0 < k < n，我們有
f^(k) (0)*f^(n+k) (0) = 0
(即 f^(k) (0) 或 f^(n+k) (0) 必為零。)
或寫成
f^(k) (0)*L^(k) (0) = 0 …(**)

現在，重覆使用分部積分，有
∫{0,1} [L(x)]^2 dx
= (Σ{k=0, n-1} (-1)^k L^(k) f^(n-k+1) ) + (-1)^n ∫{0,1} f*L^(n) dx
= 0 + (-1)^n ∫{0,1} f*L^(n) dx …應用(**)
= (-1)^n (2n)!∫{0,1} f dx ……(***)

現考慮∫{0,1} f dx，將f展開，有
f =Σ{k=0, n} C(n,k)x^2k (-1)^(n-k)
所以
∫{0,1} f dx
= ∫{0,1} (Σ{k=0, n} C(n,k)x^2k (-1)^(n-k) )dx
=Σ{k=0, n} C(n,k)x^(2k+1) (-1)^(n-k) /(2k+1)
=Σ{k=0, n} C(n,k) (-1)^(n-k) /(2k+1) ……(*4)
結合(***)和(*4)，我們有
∫{0,1} [L(x)]^2 dx
= (-1)^n (2n)! Σ{k=0, n} C(n,k) (-1)^(n-k) /(2k+1)
= (2n)! Σ{k=0, n} C(n,k) (-1)^(k) /(2k+1)

第一題用Leibniz symbol

第二題有兩種方法

一是不斷分部積分，不過最後要用到(cosx)^k的積分

二是利用分部積分的方法可證明當Lm≠Ln，∫[0,1] Lm*Ln dx = 0

再利用第一題得到的L(x)關係式

得出L的generating function，將其兩邊平方再積分

比較係數即可得到答案。

L'(1) = f^(n+1) (1) !!

2009-01-17 23:02:31 補充：
我是只樓上的啦 少算一次微分

2009-01-17 23:33:02 補充：
第一題應該是 n (n+1)! 2^(n-1)

第二題再想想

To: 貓朋
(1)差一丁點! 想法正確,請小心一點.
(2)這方法應該無法求得結果!

2009-01-17 22:58:57 補充：
1. 可能先在tw.yahoo上先作答一題吧! 或者申請後再等一段時間看看
2. 先以特例check您的結果看看! 條件(2)是重點,不可能不用!

2009-01-17 23:00:42 補充：
以 n 表示!

2009-02-01 14:10:26 補充：
Good!
Q2的結論可以寫得更closed form一點!

2009-02-01 14:25:53 補充：
Q2. ans. = 4^n *(n!)^2*(2n)! / (2n+1)!

只想問問方向是否正確：
(1) f(x) = (x^2 -1)^n = (x+1)^n (x-1)^n = u^n v^n
直接求 n 次導數展開式得
L'(1) = n! u^n = n! 2^n

(2) 設 x=sin(t) , x \in [0,1] -> t \in [0, pi/2], 再分別考慮 n是單數和雙數時的情況。

2009-01-17 22:53:52 補充：
另外，關於"n次齊次多項式的維度"：
（奇怪，我不知如何在那題發表意見，抱歉....)
如果已知是n變數ｋ齊次多項式，只雖當把ｋ個球放入ｎ個容器來數，就可得
dim V = C(n+k-1 , k)
條件(2)顯得多餘，請問是否想藉此引申去其他(代幾的)結果?