n次齊次多項式的維度

👨🏻‍🏫 學術台數學

mathmanliu

2009-01-18 1:51 am

設X1, X2, ..., Xn之多項式U(X1, X2, ..., Xn)滿足
(1) U(t X1,t X2,...,t Xn)= t^k U(X1, X2, ..., Xn), k為已知正整數
(2) U11+U22+...+Unn = 0 (二階偏導函數總和=0, 即Laplace eq.)
這些函數U(X1, X2, ..., Xn)形成一個vector space V over R
試求 dim(V) (以 n, k表示)

更新1:

註:即求 n 變數 k 次齊次調和多項式的dim.

更新2:

另題:http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009011701265 也請幫忙作答!

回答 (3)

貓朋

2009-01-19 10:48 pm

煩惱即是菩提大大：
多謝賜教。
相信我的方法糾纏下去也去不到答案，所以我已刪除答案了。
希望快些有其他高手解決這題吧。

2009-01-20 14:58:07 補充：
k=1, dim V = n
k=2, dim V = C(n+1, 2) -1
k>=3, dim V = C(n+k-1, k) - C(n+k-3, k-2)

對不對？

2009-01-23 00:34:52 補充：
k=2時可能有些定義會不清晰和為了增加可讀性，我還是將 k=2 和 k>2分開。

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mathmanliu

2009-01-18 6:19 pm

n=2時仍有3次齊次調和多項式,如 x³ - 3xy²

2009-01-19 09:42:55 補充：
△U在某點處為0,並未表示△U恆為0,
so,貓朋您的等價推論有點問題!
特例: k=1時, 顯然dim(V)=n, 而C(n+k-1 , k) -1 = C(n, 1) -1不是n

2009-01-19 13:58:20 補充：
k>=2時答案也不對!

2009-01-20 18:19:51 補充：
Yes! (k=2可併至k>=3)
請將想法寫出來供大家欣賞吧!

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[匿名]

2009-01-18 11:37 am

If n < k, dim = 0

If n>= k, dim = C(n,k) ??

2009-01-18 12:31:10 補充：
嗯我想錯了

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收錄日期: 2021-05-04 00:45:17
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090117000016KK05906

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