積分基本運算

∫√(9-x^2)dx
(3,0)

令
x=3sinθ==>x/3=sinθ==>θ=arcsin(x/3)
x=3, θ=π/2, x=0, θ=0
dx=3cosθdθ

=∫√(9-9sin^2θ)3cosθdθ
=∫(3cosθ)(3cosθ)dθ
=9∫(cos^2θ)dθ
=9∫((1+cos(2θ))/2)dθ
=9/2∫((1+cos(2θ))dθ
=9/2∫((dθ+cos(2θ)d(2θ)/2)
=9/2(θ-sin(2θ)/2)|(π/2,0)
=9/2(π/2-0-0+0)
=9π/4

參考看看吧!

2009-01-16 02:16:14 補充：
請更正

=9/2(θ+sin(2θ)/2)|(π/2,0)
=9/2(π/2+0-0-0)

才對!

不能直接代 3 & 0

你未知數已經改變了~

可以用幾何解釋:
y=√(9-x^2)圖形為上半圓,圓心(0,0),半徑=3
原題定積分=上半圓曲線之下, x軸上方, x=0~3所圍區域的面積
所以原題定積分= 四分之一圓面積= pi*9/4

pi為圓周率

請參考!

2009-01-16 01:09:56 補充：
直接積分不好算,要用三角代換,還要用到三角函數的半角公式,
辛苦多了,還是幾何解釋比較快!

x = 3sin u 做變數變換