三角函數恆等式的證明(高一題目)

我知道第二題的答案了。

2009-01-17 00:43:00 補充：
1
1+x+x^2+...+x^2n=0
(x^(2n+1)-1)/(x-1)=0
So (x^(2n+1)-1)=0
x^(2n+1)=cos2kπ+isin2kπ
x=cos2kπ/(2n+1)+isin2kπ/(2n+1) k=1,2,3,...2n
Note that k ≠ 0 is excluded because x≠1
Notice that cos 2(2n+1-k)π/(2n+1)+isin 2(2n+1-k)π/(2n+1)=cos 2kπ/(2n+1) - isin 2kπ/(2n+1)
So
1+x+x^2+...+x^2n
= Π[x-(cos 2kπ/(2n+1) + isin 2kπ/(2n+1)]
= Π[x-(cos 2kπ/(2n+1) + isin 2kπ/(2n+1)][x-(cos 2kπ/(2n+1) - isin 2kπ/(2n+1)]
=Π[x^2-2x(cos 2kπ/(2n+1)+1]
Put x=1, we have
2n+1=Π[2(1-(cos 2kπ/(2n+1))]=Π[4sin^2 kπ/(n+1))]=2^(2n)Π[sin^2 kπ/(n+1))]
Hence (sinθ)^2 * (sin 2θ)^2 *...* (sin nθ)^2 = (2n+1)/4^n
2

(cosθ+isinθ)^n
=cos^nθ+ncosθ(isinθ)^(n-1)+...+(isinθ)^n
Comparing real and imaginary part
sin nθ=nC1cos^(n-1)θsinθ-nC3cos^(n-3)θsin^3θ+nC5cos^(n-5)θsin^5θ+...

sin nθ=(sin^n θ)(nC1cot^(n-1)θ-nC3cot^(n-3)θ+nC5cot^(n-5)θ+...)
If n is odd and sin nθ= 0 => sin (2m+1)θ= 0 (Let n=2m+1)
θ= kπ/(2m+1) (k=0,1,2,...2m)
Also
sin (2m+1)θ=(sin^(2m+1) θ)(nC1cot^(2m)θ-nC3cot^(2m-2)θ+nC5cot^(2m-4)θ+...)

We notice that cot^2 kπ/(2m+1)= cot^2 (2m+1-k)π/(2m+1) (k=1,2,3,...m)
Let θ= cot^2 θ
Then the root of (nC1θ^m -nC3θ^(m-1)+nC5θ^(m-2)+...= 0)
are cot^2 π/(2m+1), cot^2 2π/(2m+1),... cot^2 mπ/(2m+1)
Sum of roots
=cot^2 π/(2m+1)+ cot^2 2π/(2m+1)+... +cot^2 mπ/(2m+1)
=nC3/nC1
=m(2m-1)/3
So (cotθ)^2 + (cot 2θ)^2 +...+ (cot nθ)^2 = n(2n-1) / 3


2009-01-17 16:50:19 補充：
結果用了3個方法﹐sinθ那條的方法是 cosθ那條的特例

第一題利用sinkx 對 sinx 的 展開式即可證明

同樣的可得到csckx的展開式(令上式 sinx = 1/cscy)

於是 cscx 的平方和也可得到，從而cotx的平方和也得到

sinkx對sinx的展開式可由 ( cosx + isinx )^k = coskx + isinkx 得到

左式以二項式展開，其虛部 = sinkx

同樣也可得到coskx的展開式

很好! popo大師解了第(1)題!
計算能力超好!您應是一中老師吧!
由(1)可推導得: ∫ln(sinx) dx 定積分x=0~π/2之值 = - (πln2 )/2
第(2)題另有其他應用喔!

2009-01-14 12:57:08 補充：
Yes!是可以作出cos題!
而兩邊第(2)題可能就失效了!
兩邊第(1)題的計算都很精采,與我個人想像都不同!
還是用提示方法想想吧!

2009-01-15 08:48:37 補充：
(sinθ)^2 + (sin 2θ)^2 +...+ (sin nθ)^2 = (2n+1) / 4
這式也成立!

2009-01-15 08:50:18 補充：
其實6個三角函數在θ, 2θ,..., nθ平方和, 平方乘積,都可以求得完整結果!

2009-01-15 08:57:25 補充：
sin平方和算到了(應該是用根與係數關係得到的吧!)
那cot平方和就差臨門一腳,小提示: 先求csc平方和!
另外: 當θ=π/(2n), 則
6個三角函數在θ, 2θ,..., (n-1)θ處值之平方和,平方乘積均可得!

2009-01-17 10:32:40 補充：
Wow,今天真是個特別的日子!
好友您解出來了,雖然有點兒小瑕疵[θ=(cotθ)^2],
但瑕不掩瑜,解得這麼完整!其他問題也差不多都解決了!
大事記一件,應該記下!

2009-01-17 10:39:13 補充：
另一大事,好友您應也發現! 您後面有位超級高手π先生,一言中的,幾句話就點出重點!
嗨! 拍(π)先生您好,很高興空中相見,請多指教!

2009-01-17 13:32:38 補充：
(2)之應用:
cot²x< 1/x² < csc²x,
=>Σcot²(kθ) < Σ1/(k²θ²) < Σcsc²(kθ), k=1~n,θ=π/(2n+1)
=> (2n²-n)/3 < [(2n+1)/π]² (1/1²+1/2²+...+1/n²) < (2n²-n)/3 + n
=> π² *(2n²-n)/[3(2n+1)²] <1+1/2²+1/3²+...+1/n² <π²(2n²+n)/[3(2n+1)²]
=> 1+ 1/2²+ 1/3²+ ...+ 1/n² ---> π² / 6

2009-01-17 17:00:37 補充：
若ax³+bx²+cx+d=0三根為α,β,γ, 則
dx³+cx²+bx+a=0三根為1/α,1/β,1/γ
so, 兩題之(2)是相通的!

第1題請參考"http://residence.educities.edu.tw/jflai/ans/ans090113.jpg"
三角恆等式証明



2009-01-15 08:28:25 補充：
關於第2題
目前我只會算到
(sinθ)^2 + (sin 2θ)^2 +...+ (sin nθ)^2 = (2n+1) / 4

2009-01-16 16:24:31 補充：
我不是用根與係數關係得到的,我想不出如何造一個n次多項式方程式使他的根為(sinθ)^2 , (sin 2θ)^2 ,..., (sin nθ)^2 ,

cos 那題可以直接做出來耶！

兩邊乘以 sin 那串東西就出來了 :p

2009-01-13 17:51:13 補充：
如同大師在另一邊所說 那個方法這裡就沒了

2009-01-14 10:22:20 補充：
所以根據 popo 大師所寫的 z 用 -1 代入

cos 那題就出來了對吧