(中三)梯形與角平線證明題

在做一個相同的菱形A'B'C'D'將其上下顛倒使 A=D' 且 D=A'，因此BCB'C'為一個菱形
因為BE為∠ABC之角平分線所以 BE 在菱形的對角線上 同理 B'E' 也在菱形的對角線上，由此可知 E=E' 為菱形的中心
所以 CE 平分 ∠BCD

2009-01-12 01:23:40 補充：
在做一個相同的菱形A'B'C'D'

應改為

再做一個相同的 "梯形" A'B'C'D'

Sorry

2009-01-12 01:30:14 補充：
那題我有看到所以才會被大師引來這裡 :p

我的直覺也是跟幾何有關

只是沒仔細想不知到笨腦袋想不想得出來

2009-01-12 13:05:54 補充：
其實我本來也是用 EMK 您的作法

不過後來作到 SSA 就打住了

後來發現若要是對的那 E 就得是 AD 中點

才引發了我用菱形來證的

這題是我中學時調皮為難老師的題目!
當時的作法與二位都不同!

另一題http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509011110384
較難,提示:與Linear algebra,3D Geometry有關!
請試試,可別睡不著喔!

在BC上取點F，使得BA=BF，CD=CF。

現在我先證ΔABE~=ΔFBE：
(1) BA=BF
(2) 因BE是角平分線，∠ABE=∠FBE
(3) BE=BE (公共邊)
所以 ΔABE~=ΔFBE (SAS)

由此，首先得到∠BFE=∠BAE (全等三角形對應角)
又因 ∠BFE+∠CFE=180度 (直線上的鄰角)
和 ∠BAE+∠CDE=180度 (同旁內角，AB//DC)
所以 ∠CFE=∠CDE

因CF=CD，CE=CE (公共邊)，∠CFE=∠CDE
故有兩種可能 (SSA)：
(1) ∠CEF=∠CED
(2) ∠CEF+∠CED=180度

設(2)成立，則∠AEF=0度，A、B、F重合，
故ABCD為三角形，矛盾。

因(2)不可能，故得(1)：∠CEF=∠CED
於是ΔCEF~=ΔCED (AAS)

最後得到∠FCE=∠DCE (全得三角形對應角)
即CE為∠BCD的角平分線。

PS. 呢題都幾難，我都唔係好肯定，試下啦！



2009-01-12 00:50:34 補充：
本身想用圓去解題，但好像不太行，
又想過用同一法，又好像有點旁門左道……

2009-01-12 07:46:09 補充：
linch的解答很妙！