3變數函數求範圍

題目可以改成為空間中固定的三點與任一過原點的平面距離和之最大值與最小值?

2009-01-12 02:13:02 補充：
令 a = x, b = x - y, c = x + 2y - 3z
將 x + y, x + 2y, y - 2z 以 a, b, c 代換得到

x + y = 2a-b
x + 2y = 3a - 2b
y - 2z = -a + b/3 + 2c/3

所以原式可以改為 f(a,b,c) = (|2a - b| + |3a - 2b| + |-a + b/3 + 2c/3|) / √(a^2+b^2+c^2)

而上式代表點 (2, -1, 0), (3, -2, 0 ), (-1, 1/3, 2/3) 到平面 ax + by + cz = 0 的距離和

( 過程不知道有沒有算錯 )

2009-01-12 23:29:40 補充：
最大值 (2√107) / 3 最小值 2/√61 是嗎??

若對只是我還不太能解釋為甚麼

最大值 a : b : c = 9 : -5 : -1 ( x : y : z = 27 : 42 : 38 )

最小值 a : b : c = 4 : 6 : 3 ( x : y : z = 4 : -2 : -1 )

2009-01-13 00:58:03 補充：
雖然算出來了

可是我還不能說服我自己為甚麼可以那樣算

2009-01-14 10:06:55 補充：
我是這樣算來的

若 A(2, -1, 0), B(3, -2, 0 ), C(-1, 1/3, 2/3), O(0,0,0)
最小值應該就是
A與過 BCO 的平面距離
B與過 ACO 的平面距離
C與過 ABO 的平面距離
三者的最小值

最大值會在
2a - b + 3a - 2b + a - b/3 - 2c/3 = a^2 + b^2 + c^2
6a - 10b/3 - 2c/3 = a^2 + b^2 + c^2
a (a-6) + b (b + 10/3) + c (c + 2/3) = 0
a=6 , b = - 10/3, c = -2/3

提供大家參考
應該有些幾何意義得再思考一下
也歡迎大家提供意見

2009-01-18 02:13:03 補充：
令 a = x, b = x - y, c = x + 2y - 3z
將 x + y, x + 2y, y - 2z 以 a, b, c 代換得到

x + y = 2a-b
x + 2y = 3a - 2b
y - 2z = -a + b/3 + 2c/3

所以原式可以改為 f(a,b,c) = (|2a - b| + |3a - 2b| + |-a + b/3 + 2c/3|) / √(a^2+b^2+c^2)

而上式代表點 (2, -1, 0), (3, -2, 0 ), (1, -1/3, -2/3) 到平面 ax + by + cz = 0 的距離和

若 A(2, -1, 0), B(3, -2, 0 ), C(1, -1/3, -2/3), O(0,0,0) 最小值是
A 與過 BCO 的平面距離
B 與過 ACO 的平面距離
C 與過 ABO 的平面距離
三者的最小值
算出來是 2/√61 ( a : b : c = 4 : 6 : 3 )

若平面 ax + by + cz = 0 與 △ABC 不相交的話才有可能是最大值
則此時 f(a,b,c) 表示 △ABC 之重心到平面 ax + by + cz = 0 之 3 倍

△ABC 之重心為 (2, -10/9, -2/9) 根據柯西不等式可得當 a : b : c = 9 : -5 : -1 時有重心到平面 ax + by + cz = 0 之最大值 (2√107) / 9

因此 f(a, b, c) 之最大值為 (2√107) / 3


不知這樣可不可以

2009-01-18 18:07:54 補充：
謝謝菩提大師賜教!!

很活潑的想法,不知固定三點, 與平面為何?

2009-01-12 02:27:23 補充：
很棒的想法, 值得繼續!
平面 ax+by+cz=0繞O點任意轉動!
再來呢?

2009-01-12 02:29:39 補充：
最小值有點像Least square, 但本題是 Least sum of distances(absolute)!

2009-01-13 00:41:30 補充：
Good!全對!

2009-01-13 00:43:14 補充：
連比例都算出來了,厲害喔!

2009-01-13 01:00:48 補充：
抱著棉背再想想吧!

2009-01-13 01:02:42 補充：
這題http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509011300412
不錯,給您解吧!

2009-01-13 01:06:03 補充：
我另兩題三角恆等式,結果很漂亮,想想吧!

2009-01-14 13:11:35 補充：
先考慮兩變數case,也許更能理解其幾何思維!

2009-01-18 12:55:26 補充：
您求最大值的方法(重心距離的3倍)很好!
最小值可用以下想法:
原式改為 f(a,b,c) = (|2a - b| + |3a - 2b| + |-a + b/3 + 2c/3|) / √(a^2+b^2+c^2)
為a, b, c之一次齊次函數, f(a, b, c)=f(ta, tb, tc),則可取適當 t,使分母=1
即設a^2+b^2+c^2=1 =>點(a, b, c)在單位球x^2+y^2+z^2=1上
求 | 2x-y | + |3x-2y| + | -x+ y/3 + 2z/3 |之最小值即可

2009-01-18 13:00:06 補充：
設 | 2x-y | + | 3x-2y | + | -x+y/3 + 2z/3 | = k
表空間中斜8面體,當k增加時,斜8面體就跟著放大
故取適當k值使斜8面體與球x^2+y^2+z^2=1相切時, k最大
斜8面體完全包含在球內時, k最小
(註:斜8面體與球相切時, k有4個值! 找法向量最大那一個就對了)

2009-01-18 13:03:35 補充：
想像平面上 |x| + | x-2y | = k之圖形 [為4邊形, 以(0,0)為中心 ]!