x的階乘(x!)的微分

就如#001所說，因「階乘」的初等定義為：
n! = n(n-1)(n-2)...3*2*1

故 n!只是一個適用於正整數的函數，於實數集上不連續。
故在實數集上，n!不可導。

不過，若你仍是不死心的話，我介紹一個新函數給你：
Gamma Function

Gamma函數的定義為：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/9/7/9/979a07321c8f5bec101c3cf1022968a6.png


這個Gamma函數 Γ(x) 於正實數均有定義且連續，
事實上，Gamma函數除了負整數外處處連續。

而Gamma有一個特別性質：Γ(n+1) = n!
所以Gamma函數可作為階乘函數於實數的推廣。

詳情可參看：
http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

在上文中，有提及過Gamma函數的導數公式：


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/d/b/9/db90c184a90a1a2eb9bb81f111ae94c2.png


若你能夠接受Gamma函數為階乘函數的「實數版」，
那麼上式便是廣義階乘函數的導函數公式。

不過，仍然要注意一點，就是對於原始的階乘函數，
仍只是一個正整數的函數，故不可導。

由於微分必須是對於一連續函數
由於x!的定義域只是非負整數，由於整數不是連續的，因此不能對x的階乘作微分！