旋轉体体積的計算

繪出圖如下:

圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Jan09/Crazyint5.jpg


圖片參考：http://i117.photobucket.com/albums/o61/billy_hywung/Jan09/Crazyint6.jpg

註: 在旋轉體的計算時 dx 會變為 √2dx, 皆因當沿 x 軸行走一個單位時, 在沿 y = x 之方向就相當於行走 √2 個單位.

2009-01-09 12:04:55 補充：
=] 第一次做都對了九成, EMK 也也做得不錯

2009-01-09 22:37:54 補充：
若是對 y = 2x 作出旋轉, 則會變成 √5 dx, 即在 x 軸前進一個單位時在 y = 2x 上己前進了 √5 個單位.

對於曲線 y=sin x上的每一點 (t, sin t)，其中 0<=t<=π
這點到直線 y=x 的距離為 [t - sin t]/√2。

故設 R(x) = [x - sin x]/√2，

所求體積為

∫{由 0 到 π} π[R(x)]^2 dx
= π/2 * ∫{由 0 到 π} [x - sin x]^2 dx
= π/2 * ∫{由 0 到 π} [x^2 - 2x sin x + sin^2 x]dx

現分別計算

V1 = ∫{由 0 到 π} x^2 dx
= [x^3 / 3]{由 0 到 π}
= π^3 / 3

V2 = ∫{由 0 到 π} x sin x dx
= ∫{由 0 到 π} x d(cos x)
= [x cos x]{由 0 到 π} - ∫{由 0 到 π} cos x dx
= -π - [sin x]{由 0 到 π}
= -π

V3 = ∫{由 0 到 π} sin^2 x dx
= ∫{由 0 到 π} [1 - cos 2x]/2 dx
= 1/2 [x - sin 2x / 2]{由 0 到 π}
= π/2

最後，
所求體積 = π/2 * [V1 - 2*V2 + V3]
= π/2 * [π^3 / 3 - 2π + π/2]
= π^4 / 6 - 3π^2 / 4

2009-01-09 09:46:18 補充：
第一次做D咁既題目，希望冇錯啦！=]

2009-01-09 10:16:24 補充：
啊，張遼兄說得對，要乘返√2先得。

咁答案就會變成 V = √2*π^2 [π^2 / 6 - 3/4]

2009-01-09 17:08:22 補充：
多謝張遼兄和菩提兄賞識，小弟會繼續努力。

對於 y=2x，這個我覺得比較難了，
因為這時候 (π, 0)到直線的垂線已不再是 y=sin x的切線而變為割線，
這時計算哪一個旋轉體的體積還要再討論了。