不懂indefinite integral

1. 用change of variable，你見到(3+x^0.5)呢舊野，可以試下d下佢，你會發現出左1/2x^0.5，唔得ge就試下塞1/x^0.5入去dx做by part

in {dx/[(x^0.5)(3+x^0.5)]} let u=3+x^0.5, du=dx/2x^0.5
=2in (du/u)
=2ln Abs(u)+c
=2ln (3+x^0.5)+c 因為3+x^0.5一定正，所以可以唔要absolute sign

2. 呢題你個答案好似打多左個負號
ln3x=ln3+lnx
你會見到條式有1/x又有lnx
呢個時候塞1/x入去dx變d(lnx)

in [(ln3x)/x]dx
=in (ln3+lnx)d(lnx)
=in (ln3+lnx)d(ln3+lnx)
=1/2[ln(3x)]^2+c

通常做到涉及ln x的數，多數會看看有沒有dx/x可以轉換成d(lnx)，不行的話再嘗試用by part(懂用的話很好用)

平常我建議你多做exercise，特別是較難的indefinitive integral，這可練習運用不同技巧解題。
平常用的skills:
change of variable
trigo transformation (product-sum, sin^2 x+cos^2 x=1, etc.)
integration by part
integration by substitution + completing square
(見a^2-x^2, sub a sin^2 b=x
x^2+a^2 sub a tan^2 b=x
x^2-a^2 sub a sec^2 b=x)
partial fraction (polynomials)
萬能變換 t=tan x/2
等等……

1∫dx/[(√x)(3+√x)]}
令y=√x, dy=1/(2√x)dx
dx=(2y)dy
原式
=2∫1/(3+y) dy
=2 ln(3+y) + C
=2 ln(3+√x) + C
2.
∫ [(ln3x)/x] dx
= ∫ (ln3x) d(ln 3x)
=1/2[ln(3x)]^2 + C


2009-01-08 21:23:15 補充：
你個-2好像打錯

2009-01-08 22:05:23 補充：
請教教我當中的技巧如何面對這樣的數?

我覺得這類問題好難答。所以想選擇不答。好像一本PURE MATHS 書都無說為甚麼會由這行跳落下一行。因為這些是「只能意會﹐不能言傳」不過為免版大以為我偷懶﹐所以寫2句啦。

1

因為見到√x就會好官能性地用y代替以去除根號。

2

因為見到有ln又見到1/x﹐所以第一時間知道要將1/x轉成d(lnx)但原本被積函數是ln(3x)﹐於是進而想到d(ln3x)=d(lnx)=(1/x)dx !! 這種做法有「四兩撥千斤」的意味耶