非常有價值的問題（解複對數方程）

👨🏻‍🏫 學術台數學

doraemonpaul

2009-01-07 3:13 am

By using the knowledge of complex logarithm, solve the following equations in complex sense.
1. log (2x + 1) (complex) + log (x – 3) (complex) = log 10 (complex)
2. log (2x + 1) (complex) + log (x – 3) (complex) = 1
3. (log (2x + 1) (complex) )/(log (x – 7) (complex) ) = 2

Note: http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7008123000285 said that the normal method of solving logarithm equations learned in CE level is not valid to solving logarithm equations in complex sense.

回答 (4)

paul2357paul

2009-01-21 12:50 pm

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用戶217154

2009-01-15 12:55 am

在數學中，數 x 的(對於底數 b)對數是 by 的冪 y，使得 x = by。底數 b 的值一定不能是 0 也不能是 1 (在擴展到複數的復對數情況下不能是 1 的方根)，典型的是 10、e 或 2。底數 b 的對數通常寫為

當 x 和 b 進一步限制為正實數的時候，對數是一個唯一的實數。

例如，因為

我們可以得出

用日常語言說，以3為底81的對數是 4。

對數函數
函數 logb(x) 依賴於 b 和 x 二者，但是術語對數函數在標準用法中用來稱呼形如 logb(x) 的函數，在其中底數 b 是固定的而只有一個參數 x。所以對每個底數 b 的值(必須是正數必須不是 1)只有一個對數函數。從這個角度看，底數 b 的對數函數是指數函數 bx 的反函數。詞語「對數」經常用來稱呼對數函數自身和這個函數的一個特定值。

對數函數圖像和指數函數圖像關於直線y=x對稱（互為反函數）。

參考: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0

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doraemonpaul

2009-01-09 10:57 am

其實這條問題是http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7008123000285的延續。因為我見到EMK的那個回答指到明當用complex sense去solve logarithm equations的時候，數字並不能直接轉成logarithm，從而證明平時在中四中五所教的solve logarithm equations的方法用在solve complex logarithm equations的時候就會全錯。

2009-01-09 03:16:54 補充：
用錯的方法去solve equation，得出來的「解」自然完全沒有意義，因為「對」的「解」只是撞彩，「錯」的「解」才是道理。於是我就想問如何solve那條equation（當所有logarithm視為complex logarithm的時候）才是正確。不過這樣就會離題，所以我轉至這裡繼續發問。

2009-01-09 03:31:55 補充：
在http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7008123000285中，EMK一直都把complex logarithm視為multi-valued function。

所以在這題的重點，都應該把complex logarithm視為multi-valued function。

2009-01-09 03:43:51 補充：
不過，亦都要多謝冷凝液提醒我complex logarithm也有principal value的概念。

而無論把complex logarithm視為multi-valued function，抑或把complex logarithm視為principal value，我都有興趣想知道。

所以回答這條問題，最好有齊「multi-valued function」和「principal value」這兩種版本。

2009-01-09 03:58:09 補充：
不過還有一點需要注意，無論把complex logarithm視為multi-valued function，抑或把complex logarithm視為principal value，都需要一氣呵成。千萬不要在同一條equation中把部分logarithm視為multi-valued function而其餘的logarithm視為principal value。

2009-01-09 04:10:22 補充：
在這裡的log仍然是指common Logarithm。

2009-01-09 04:37:01 補充：
In ''multi-valued function'' version, "log w = log z" means "multi-valued function of log w = multi-valued function of log z".

In principal value'' version, "log w = log z" means "principal value of log w = principal value of log z".

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冷凝液

2009-01-07 8:52 am

Dear doraemonpaul,

Some clarifications are required.

(1) Is this "complex logarithm" a multi-valued function? (You are not referring to the principal value, right?)

(2) If so, what do we mean by "log w = log z"? (For instance, is log e = log (e^(1+2iπ))?)

Thanks.

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收錄日期: 2021-04-19 13:19:44
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090106000051KK01306

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