關於線性代數行列式證明的問題。誰能幫我解這個問題？

myisland8132 沒問題啊。

因為如果 x^2 - Px + Q = 0 是特徵方程，
則有 P = tr(A) 及 Q = det(A)。

我反而有另一個疑問，假如特徵方程只是二次方程，
則A只能夠是一個 2×2 的矩陣。

A滿足一方程，應該不能代表那是特徵方程，
那只是充分條件，但不是必要條件。
盡其量也只能說那是最小多項式而已。

2009-01-06 10:48:17 補充：
det(A) = 所有特徵值之積

2009-01-06 11:13:18 補充：
A^-1 = 1/2 (I-A)
2 A^-1 = I - A
2 I = A - A^2
A^2 - A + 2I = 0

考慮 m(λ) = λ^2 - λ + 2
因 m(λ) = 0 沒有重根，所以 m(λ)為 A 的最小多項式。

由於 A 的最小多項式 m(λ) 必為其特徵多項式的因式，
且 m(λ)已包含特徵多項式的所有單因式，
故由此可得，A 的特徵多項式必為 p(λ) = [m(λ)]^k 的樣式。

又因 n x n的矩陣的特徵多項式必為一 n次多項式，
故可得 p(λ) = [m(λ)]^{n/2} 且 n必為一偶數。

現設 A 的特徵多項式為
p(λ) = λ^n + a_1 λ^{n-1} + ... + a_n

則可知 det(A) = a_n = 特徵多項式的常數項

由於
p(λ) = [m(λ)]^k = (λ^2 - λ + 2)^k
= λ^{2k} + ... + 2^k

故特徵多項式的常數項 = 2^k
所以 det(A) = 2^k 為 2 的冪方。

2009-01-06 11:18:23 補充：
以上推導能夠成立，其中是假設了 A 為一實系數的矩陣，
因若 A 可為複系數，則不能推出 m(λ) 為其最小多項式。

t^2- t+2= 0, t 不是實根吔!

2009-01-05 23:57:32 補充：
To: myisland8132
您只說明A之eigenvalue滿足 t^2 - t + 2 =0
但無法得到 det(A)=2
個人認為應將A改為Jordan form再求det(A).
您應該是跳太快了吧!?

2009-01-06 12:28:02 補充：
因A^(-1)=1/2 (I-A) =>A^2-A+2I=0
=>A之Jordan form中每一個block的特徵多項式為 x^2 - x +2 型式
=>A之特徵多項式=(x^2-x+2)的某一個次方
=>det(A)=特徵多項式之常數項= 2的某個次方

A^-1=1/2 ( I-A)
2A^-1=(I-A)
2I=A-A^2
A^2-A+2I=0
對應Characteristic polynomial
t^2-t+2=0
所以detA=2 為 2 之冪方

2009-01-05 23:46:03 補充：
有關係的嗎?

2009-01-06 01:09:13 補充：
我問問我朋友先

2009-01-06 13:54:25 補充：
補充:

A^2-A+2I = 0,
we get
t^2 v - tv + 2v = 0=>(t^2 - t + 2)v = 0.
Since v is an eigenvector, by definition, v is not 0. Hence t^2 - t + 2 = 0.Note that the roots of this equation are complex. Let the two roots be w and z (which are conjugate to each other.)

2009-01-06 13:54:53 補充：
Since the polynomial equationdet(A-tI) = 0 has real coefficients, its complex roots exist in conjugate pairs. From the above discussion, we see that each eigenvalue must be either z and w.

2009-01-06 13:54:57 補充：
Suppose the multiplicity of the root z is n, then since the roots exist in conjugate pairs, the multiplicity of the root w is also n. But note that zw = 2. Since detA is the product of all the eigenvalues of A, we get detA = 2^n.