✔ 最佳答案
1.
x2 + (p + 1)x + (p - 1) = 0
Determinant D
= (p + 1)2 - 4(p - 1)
= p2 + 2p + 1 - 4p + 4
= p2 - 2p + 5
= (p2 - 2p + 1) + 4
= (p - 1)2 + 4
因 p 為實數，(p - 1)2 ≥ 0，所以 D = (p - 1)2 + 4 > 0
故此，方程式有兩個不相同的實根，即 a 和 b 為相異實數。
2.
(a)
f(x) = x2 - kx
f(x) = x2 - kx + (k/2)2 - (k/2)2
f(x) = [x2 - kx + (k/2)] - k2/4
f(x) = (x - k/2)2 - (k/2)2
k 為實數，故 (x - k/2)2 ≥ 0，所以 (x - k/2)2 - (k/2)2 ≥ -k2/4
當 x = k/2 時，f(x) = -k2/4 為最小值。
(b)
y = x2 - kx ...... (1)
y = -x ...... (2)
(1) = (2):
x2 - kx = -x
x2 - kx + x = 0
x2 - (k - 1)x = 0
x[x - (k - 1)] = 0
x = 0 或 x = k - 1
當 x = 0, y = -(0)
所以 y = 0
當 x = k - 1, y = -(k - 1)
所以 y = -k + 1
兩個交點分別為 (0, 0) 和 (k-1, -k+1)。
(c)
f(x) ≤ g(x)
x2 - 3x ≤ -x
x2 - 3x + x ≤ 0
x2 - 2x ≤ 0
x(x - 2) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 2
由 (a) 得知，f(x) 的最小值為 -k2/4，而相應的 x 值為 k/2。
當 k = 3，x = 3/2 落在以上範圍。
因此，在以上 x 值範圍內，f(x) 的最小值 = -32/4 = -9/4
(d)
f(x) ≤ g(x)
x2 - (3/2)x ≤ -x
x2 - (3/2)x + x ≤ 0
2x2 - 3x + 2x ≤ 0
2x2 - x ≤ 0
x(2x - 1) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 1/2
由 (a) 得知，f(x) 的最小值為 -k2/4，而相應的 x 值為 k/2。
當 k = 3/2，x = (3/2)/2 = 3/4 並不落在以上範圍。
隨 x 增加，f(x) 的值一直減小，至 x = 3/4 為最小值，然後 f(x) 的值增大。
因此，在以上 x 值範圍內，當 x = 1/2 時，f(x) 的值最小。
因此，在以上 x 值範圍內，f(x) 的最小值 = (1/2)2 - (3/2)(1/2) = -1/2
3.
(1)
f(x) = 0
x2 - 4mx - (5m2 - 6m + 1) = 0
x2 + [-(5m - 1) + (m - 1)] - (5m - 1)(m - 1) = 0
[x - (5m - 1)][x + (m - 1)] = 0
x = 5m - 1 或 x = -m + 1
a, b 為 f(x) = 0 的兩根，而 a < b
m > 1/3，-m + 1 < 5m - 1
答: a = -m + 1, b = 5m - 1
(2)
4 < b < 5
4 < 5m - 1 < 5
4 + 1 < 5m < 5 + 1
5 < 5m < 6
5/5 < 5m/5 < 6/5
1 < m < 6/5
=
