[20分]Pure.M Matrix

請留意：
1. (a)(i)分題中的detM的確是零。
　這是因為當detM不為零時，Mn+1不一定會是(p+s)nM。
2. (a)(ii)分題中，detM並不一定是零。
　事實上，
　　　x^2 - (p+s)x + detM = 0 ...(*)
　是M的特徵方程(characteristic equation)。
　這裡對矩陣M並沒有任何限制（包括detM是否為零）。
　而矩陣方程
　　　M2 - (α+β)M + αβI = 0
　可改寫成
　　　M2 - (p+s)M + (detM)I = 0 ...(**)。
　這正是凱萊-哈密頓定理(Cayley-Hamilton Theorem)的內容：
　　若f(x)是正方矩陣A的特徵多項式(characteristic polynomial)，
　　則f(A)等於零矩陣(zero matrix)，即f(A) = 0。
3. 回到這道高考題目上去：
　雖然αβ = detM，但此時detM不一定為零（這是(a)(ii)的題目，(a)(i)的條件不適用），所以α、β均可以不等於零。
　在這種情況下，λ和μ就如高考評卷參考般給出：
　　λ= β/β-α、μ= α/α-β。
　設α = 0或β = 0（正如閣下所作的）只是一個特例。當detM不為零時，結論便不復真確。

detM=0係(i)既題設條件，而家你計緊(ii)，都唔關事……=.="

如果detM=0係成題都岩用既話，佢就唔會放到(i)先講，
而會一開始未講(i)之先已經講出黎。

因為你是對的。事實上你的答案和標準答案是一樣的。
考慮α或β必定有一個是0便知道了
無論如何﹐這條題目出得bad


2009-01-02 20:45:04 補充：
emk呀﹐0甘mllokloks君0米同我一樣。不過條題目出得bad是事實。