急附加數學題...求中文詳細解答...(20分)

1
a+b=-(k-2)
ab=-(k-1)
︳a︳=︳b︳
因a=b
2a=2-k
a^2=1-k
即a^2=1-2+2a
a^2-2a+1=0
a=1,b=1,k=0
2
a+b=-p,ab=q
a+3+b+3=-q=>a+b+6=-q
(a+3)(b+3)=p=>ab+3(a+b)+9=p
整理後
6-p=q
q+9=4p
故6-p=4p-9
5p=15
p=3,q=3
3
由於一根的平方減另一根等於1，

α - β = 1 或 β - α = 1

α - β - 1 = 0 或 β - α - 1 = 0

所以，

(α - β - 1)(β - α - 1) = 0

因
(α - β - 1)(β - α - 1)
= αβ - α - α - β + αβ + β - β + α + 1
= (αβ) - (α + β) - (α + β) + αβ + (α + β) + 1
= q + p (p - 3q) - (p - 2q) + q + (-p) + 1
= q + p - 3pq - p + 2q + q - p + 1
= q + p - 3pq - p + 3q - p + 1
所以
q + p - 3pq - p + 3q - p + 1 = 0

q - 3pq + 3q + p - p - p + 1 = 0

q - 3q (p - 1) + p(p - 1) - (p - 1) = 0

q - 3q (p - 1) + (p - 1) (p - 1) = 0

q - 3q (p - 1) + (p - 1) (p + 1) (p - 1) = 0
q - 3q (p - 1) + (p - 1) (p + 1) = 0
(c)

方程有實根，即 Δ ≧ 0

[-3 (p - 1)] - 4 (1) (p - 1) (p + 1) ≧ 0

9 (p - 1) - 4 (p - 1) (p + 1) ≧ 0

(p - 1) [9 - 4 (p + 1)] ≧ 0

(p - 1) (5 - 4p) ≧ 0



考慮函數 f(p) = (p - 1) (5 - 4p) = - (p - 1) (4p - 5) 它是一個三次函數，有一個重根在 x = 1，另一個根在 x = 5/4。

當 p 是數值很大的正數時候，f(p) 是一個數值很大的負數；

另一方面，當 p 是數值很大的負數時候，f(p) 是一個數值很大的正數。

所以它的圖像是這樣的：


圖片參考：http://www.geocities.com/abcsghk/7006122001453.jpg


所以，從圖像可看出，(p - 1) (5 - 4p) ≧ 0，即 p ≦ 5/4。



(d)

4x + 5x + k = 0

x + 5/4 x + k/4 = 0



代入 p = 5/4 及 q = k/4，【由(b)】

(**) 變成

(k/4) - 3 (1/4) k/4 + (1/4) (9/4) = 0

k/16 - 3k/16 + 9/64 = 0

4k - 12k + 9 = 0

(2k - 3) = 0

k = 3/2【重根】

4
設y和z為方程x^2+(k+1)x+k(k-a)=0的根。對於所有x值,y^2+z^2小於或等於5。求a值的範圍。
y+z=-(k+1)
yz=k(k-a)
y^2+z^2<=5
(y+z)^2-2yz<=5
k^2+2k+1-2k(k-a)<=5
k^2-(2+2a)k+4<=0
所以(2+2a)^2-16<=0
a^2+2a-3<=0
(a+3)(a-1)<=0
-3<=a<=1
5
a+b=4m,ab=-(5m^2-6m+1)
判別式
=16m^2+4(5m^2-6m+1)
=36m^2-24m+4
=4(9m^2-6m+1)
>0 (m>1/3)
所以a,b是相異實根
其中m>1/3,a<b,已知4<b<5
f(4)<0
16-16m-(5m^2-6m+1)<0
5m^2+10m-15>0
m^2+2m-3>0
(m+3)(m-1)>0
m<-3或m>1
f(5)>0
25-20m-(5m^2-6m+1)>0
5m^2+14m-24<0
(5m-6)(m+4)<0
-4<m<6/5
組合1<m<6/5
此題即附加數學2000的題目