有關三角形垂心的問題?

人地問「垂心」，你講「內心」既野有鬼用咩……=.="

2009-01-07 21:40:01 補充：
如果你想簡單D，咁就需要少少課外既野啦！

雖然就咁證都唔係唔得，但因為咁就只適用於呢條題目，
如果介紹一個general既方法，咁就不只適用於垂心啦！=]

首先介紹一條定理：Ceva's Theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Ceva_theorem

個定班係話，對於ΔABC，如果三邊BC、CA、AB上分別有D、E、F三點，
咁AD、BE、CF三線交於一點的充分必要條件是
AF/FB * BD/DC * CE/EA = 1

用返係呢個例子，假設AD、BE、CF係三角形三條高，
咁就會得到

AF/FB * BD/DC * CE/EA
= AC cos∠CAB / BC cos∠ABC
* AB cos∠ABC / AC cos∠BCA
* BC cos∠BCA / AB cos∠CAB
= 1

所以由Ceva's Theorem，三角形三條高交於一點。

呢條定理不單止適用於垂心，其他特別既點都得架。
例如：重心 / 形心、內心 都一樣得。

對於重心，因為AD、BE、CF係三條中線，
所以易得
AF/FB * BD/DC * CE/EA
= 1/1 * 1/1 * 1/1
= 1

對於內心，因為AD、BE、CF係三條角形分線，
所以同樣可以證明
AF/FB * BD/DC * CE/EA
= AC/BC * AB/AC * BC/AB [呢步需要另證，不過唔難]
= 1

由於你只想知道點解，而唔想見到D繁複既步驟，
故此我介紹Ceva's Theorem俾你，希望你容易明白。

呢條定理簡單易記，將來你如果再要用到都唔難掌握！=]

內心不等於垂心~

我不懂post圖,因此以下證明就借助樓上的第一幅三角形一用,這樣他的回答也未至於白費。
設右下角為C(原圖看不見),AC中點為N, IM, IN, IP姑且當成△ABC各邊的垂直平分綫,現在不理IP住,只考慮IM和IN,明顯兩綫必會交於一點,就是圖中的I點。由於IM是BC的垂直平分綫,因此
IB=IC;同理,IN是AC垂分綫,有IC=IA,因此IB=IC=IA,即現在證明了
IB=IA
即△IBA是等腰△,所以AB的垂分綫 IP必通過其頂點 I ,這樣就有IM , IN 及IP都通過 I 點,即三角形的三垂綫必相交於一點(Ⅰ點).
也就是說任何△都必有一外接圓。(Ⅰ就是圓心).

2008-12-31 13:46:12 補充：
連PN,NM及MP,得△PNM;由於P,N,M分別是△ABC三邊的中點,因此PN平行且等於 1/2 BC;NM平行且等於 1/2 AB;MP平行且等於1/2AC.所以△MNP~△ABC,分別延長 : PI, 交NM於 p(Pp丄NM,因為Pp是AB的垂綫而NM//AB) ; NI,交MP於 n(Nn丄MP) ; MI,交PN於 m(Mm丄PN)。在△MNP中,Mn, Nn, Pp是它的三條高,正是交於I點.由於△MNP~△ABC,只需把△MNP放大至△ABC一樣大,就是一幅△ABC的三高交於一點的圖了,由此等同證實了三角形三高交於一點(垂心)的事實。

2009-01-03 00:38:24 補充：
既然如此,只能向你說:
三角形有3條邊,每條邊有3個高
垂心的定義就是3個高的交點
任何三角形都一定有一個垂心
如果3個高(即係你所說的垂心
三條綫)不相交的話,那又怎會
有垂心呢?
其實點解o甘火急

As follow AS~~~

圖片參考：http://e.imagehost.org/0522/ScreenHunter_05_Dec_24_22_17.gif


2009-01-11 18:40:56 補充：
垂心
http://e.imagehost.org/0116/ScreenHunter_01_Jan_11_10_13.gif