三角形比例

記ΔABC代表三角形本身及其面積。

連CF，設ΔFBD=a, ΔFCE=b, ΔAFB=c

由於BD: BC=1: 3, 即 BD: DC=1: 2
故 ΔFBD: ΔFDC=1: 2，故ΔFDC=2a

同理，因CE: CA=1: 3，故 CE: EA=1: 2
所以 ΔFCE: ΔFEA=1: 2，即 ΔFEA=2b

因現在想求 AF: FD，但AF: FD=ΔAFB: ΔBFD=c: a
故現在只要求得 c: a，便得到AF: FD。

現因 ΔABD: ΔADC=1: 2，即 (c+a): (a+3b)=1: 2
又ΔBCE: ΔBEA=1: 2，即 (3a+b): (b+c)=1: 2

化簡得 2(a+c)=a+3b, 2(3a+b)=b+c
即
a+2c=3b....(1)
b+6a=c......(2)

由(2)得，b = c - 6a，再代入(1)得
a+2c = 3(c-6a) = 3c-18a
即 19a = c, 故得 c: a = 19: 1，即 AF: FD=19: 1

2008-12-23 11:19:42 補充：
中間開始做錯左少少，應該係：

現因 ΔABD: ΔADC=1: 2，即 (c+a): (2a+3b)=1: 2
又ΔBCE: ΔBEA=1: 2，即 (3a+b): (2b+c)=1: 2

化簡得 2(a+c)=2a+3b, 2(3a+b)=2b+c
即
2c=3b....(1)
6a=c......(2)

由(2)得，c: a=6: 1，故AF: FD=6: 1

2008-12-23 11:34:30 補充：
本解答中當用到「面積比=線段比」，其實即係
「同高三角形面積的比 = 底的比」
用「三角形面積 = 1/2*底*高」即得。

2008-12-23 11:35:16 補充：
我唔知上面#001個解答有咩錯，但我個答案一定岩。

2008-12-23 11:38:29 補充：
用返上面同一個解釋，可得
FE: FB = ΔAFE: ΔAFB = 2b: c

由(1)，2c=3b，即 b: c = 2: 3，故 2b: c = 4: 3
所以同時可得 FE: FB = 4: 3

為簡化計算, 將三角形坐標圖上, 將BC放在水平線上, 不同點的位置是

B: (0,0)
A: (a,a')
C: (c, 0)

因CE:CA=1:3, 所以E的位置是
( (2c+a)/3,a'/3)
因BD:BC=1:3, 所以D的位置是
( 2c/3, 0)

那麼BE的方程是:

y - 0 = ( (a'/3 - 0 ) ) * (x - 0) / ((2c+a)/3)-0)
y = a'x / (2c+a)
or x = y * (2c+a)/a'

而AD的方程式是:

x - 2c/3 = ( (a-2c/3) / (a' - 0) ) * (y - 0)
x = (a-2c/3)*y/a' + 2c/3

因F是在BE及AD的相交上, 所以兩條方程式的x及y相同, 由此得出:

y * (2c+a)/a' = (a-2c/3)*y/a' + 2c/3
y * ( 2c + a - a + 2c/3) / a' = 2c/3
y * (8c/3)/a' = 2c/3
y = a'/4

由此得出FD:AD = 4:1, 所以AF:FD= 3:1

2008-12-27 21:55:25 補充：
你是對的, 我抄坐標時出錯, 因BD:BC=1:3, 所以D的位置是應是 (c/3,0)而不是( 2c/3, 0)。