F.4 A.Maths 題

Find the constant term in the expansion of (1 - 2x)^9 (1+1/x)^3

Sol: (1 - 2x)^9 (1+1/x)^3

.....={1 - 9(2x) + [9(9-1)(2x)^2] / 2 - [9(9-1)(9-2)(2x)^3]/[(3)(2)] + ........ } [ 1 + 3(1/x) + 3(1/x)^2 + (1/x)^3 ]

.....=(1 - 18x + 144x^2 - 672x^3 + ......)(1 + 3/x + 3/x^2 + 1/x^3)

The constant term = 1(1) - 18(3) + 144(3) - 672(1)

...........................= 1 - 54 + 432 - 672

...........................= -293 ( The answer)

常數項等於

(1-2x)9 的常數項乘(1+1/x)3 常數項

(1-2x)9 的x項乘(1+1/x)3 (1/x)項

(1-2x)9 的x2項乘(1+1/x)3 (1/x)2項

(1-2x)9 的x3項乘(1+1/x)3 (1/x)3項

(1 + 1/x)3 = (1 + 3/x + 3/x2 + 1/x3)

(1-2x)9 中的常數項為 1

(1-2x)9 中的x項係數為 -9*2 = -18

(1-2x)9 中的x2項係數為 9*8*22/2 = 144

(1-2x)9 中的x3項係數為 -9*8*7*23/3*2 = -672

所以常數項為

1*1 + (3)(-18) + 3(144) + 1(-672)

= -293