問二條數學題(函數的圖像)

a. 其中一個數是x，則另一個為(12-x)
因兩數之和=12

於是兩數之積=P=x(12-x)

b. 方法一：配方法 [數學科]

P = x(12-x)
= -x^2 + 12x
= -(x-6)^2 + 36

因 (x-6)^2 >= 0
故 P = -(x-6)^2 + 36 <= 36

所以當x=6的時候，其積達到最大值36
又另一數=12-x=12-6=6

所以當兩個數均為6的時候，它們的積為最大值(36)

方法二：微分法

P = x(12-x) = -x^2 + 12x

兩邊對x求導，得到
dP/dx = -2x + 12

若要P達到最大值，則要 dP/dx=0
由此解得 x=6

又 d^2 P/dx^2 = -2 < 0
故由「二階導數判別法」可知P在x=6時達到極大值

因 P(0)=P(12)=0 < 36=P(6)
故P在x=6時達到最大值36

此時 x=12-x=6，即兩數均為6。

方法三：不等式法

由算術-幾何平均不等式 [A.M. >= G.M.]
可得
√[x(12-x)] <= [x+(12-x)]/2 = 12/2 = 6
故 P = x(12-x) <= 6^2 = 36

等號成立當且僅當 x=12-x, 即 x=6時等號成立。

於是當兩數均為 6 時，其積為最大值 36

2008-12-10 23:55:52 補充：
方法一：配方法 [數學科 / 附加數學科]
方法二：微分法 [附加數學科 / 純粹數學科]
方法三：不等式法 [純粹數學科]

One number is x, then the other number is (12 -x).
Product, P = x(12-x)
= 12x - x^2
= -(x^2 - 12x)
= -[(x - 6)^2 - 36]
= -(x-6)^2 + 36.
So the two numbers are 6 and 6, max. product = 36.