幾何二條題（ｆ３）　幫下我　我唔識做

1. http://org91.zorpia.com/0/4930/31554815.3c6da6.jpg

一、證明等邊三角形的內心也是它的外心

因內心為三條內角平分線的交點，而外心則為三條垂直平分線的交點，
故只需證等邊三角形的內角平分線同時是垂直平分線即可。

已知等邊三角形ΔABC，AD為∠BAC的角平分線。
求證：AD是BC的垂直平分線。

因ΔABC是等邊三角形，所以AB=AC (等邊Δ性質)
又因AD是∠BAC的角平分線，故∠BAD=∠CAD (角平分線性質)
而AD=AD (公共邊)
所以 ΔABD全等於ΔACD (SAS)

於是有 BD=CD (全等Δ對應邊)............ .(1)
和∠ADB=∠ADC (全等Δ對應角)

又因∠ADB+∠ADC=180° (直線上的鄰角)
所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC............(2)

由(1)及(2)可得，AD是BC的垂直平分線。

由於ΔABC的內角平分線亦是其垂直平分線，
故內角平分線的交點亦是其垂直平分線的交點，
即其內心也是其外心。

二、證明等邊三角形的外心也是它的內心

因內心為三條內角平分線的交點，而外心則為三條垂直平分線的交點，
故只需證等邊三角形的垂直平分線同時是內角平分線即可。

已知等邊三角形ΔABC，AD為BC的垂直平分線。
求證：AD是BC的內角平分線。

因ΔABC為等邊三角形，所以AB=AC (等邊Δ性質)
又因AD為BC的垂直平分線，故BD=CD (垂直平分線性質)
又AD=AD (公共邊)
所以 ΔABD全等於ΔACD (SSS)

於是有∠BAD=∠CAD (全等Δ對應角)
由此可知，AD是∠BAC的內角平分線。

由於ΔABC的垂直平分線亦是其內角平分線，
故垂直平分線的交點亦是其內角平分線的交點，
即其外心也是其內心。

2. http://org91.zorpia.com/0/4930/31554726.278b5f.jpg

如圖，E是ΔABC的內心，D是AE與外接圓的交點。
求證：BD=DE

設∠BAE=a, ∠ABE=b

因E是內心，故AE是∠BAC的內角平分線，
於是∠CAD=∠BAE=a (角平分線性質)
由此可得，∠CBD=∠CAD=a (同弓形內的圓周角)...(1)

又因BE是∠ABC的內角平分線，故∠CBE=∠ABE=b (角平分線性質)...(2)
由(1)及(2)可得 ∠DBE=a+b

現考慮ΔABE，知∠DEB=∠BAE+∠ABE (Δ外角)
即 ∠DEB=a+b

於是 ∠DBE=∠DEB，故 BD=DE (等角對邊相等)