✔ 最佳答案
1.
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一、證明等邊三角形的內心也是它的外心
因內心為三條內角平分線的交點，而外心則為三條垂直平分線的交點，
故只需證等邊三角形的內角平分線同時是垂直平分線即可。
已知等邊三角形ΔABC，AD為∠BAC的角平分線。
求證：AD是BC的垂直平分線。
因ΔABC是等邊三角形，所以AB=AC (等邊Δ性質)
又因AD是∠BAC的角平分線，故∠BAD=∠CAD (角平分線性質)
而AD=AD (公共邊)
所以 ΔABD全等於ΔACD (SAS)
於是有 BD=CD (全等Δ對應邊)............ .(1)
和∠ADB=∠ADC (全等Δ對應角)
又因∠ADB+∠ADC=180° (直線上的鄰角)
所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC............(2)
由(1)及(2)可得，AD是BC的垂直平分線。
由於ΔABC的內角平分線亦是其垂直平分線，
故內角平分線的交點亦是其垂直平分線的交點，
即其內心也是其外心。
二、證明等邊三角形的外心也是它的內心
因內心為三條內角平分線的交點，而外心則為三條垂直平分線的交點，
故只需證等邊三角形的垂直平分線同時是內角平分線即可。
已知等邊三角形ΔABC，AD為BC的垂直平分線。
求證：AD是BC的內角平分線。
因ΔABC為等邊三角形，所以AB=AC (等邊Δ性質)
又因AD為BC的垂直平分線，故BD=CD (垂直平分線性質)
又AD=AD (公共邊)
所以 ΔABD全等於ΔACD (SSS)
於是有∠BAD=∠CAD (全等Δ對應角)
由此可知，AD是∠BAC的內角平分線。
由於ΔABC的垂直平分線亦是其內角平分線，
故垂直平分線的交點亦是其內角平分線的交點，
即其外心也是其內心。
2.
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如圖，E是ΔABC的內心，D是AE與外接圓的交點。
求證：BD=DE
設∠BAE=a, ∠ABE=b
因E是內心，故AE是∠BAC的內角平分線，
於是∠CAD=∠BAE=a (角平分線性質)
由此可得，∠CBD=∠CAD=a (同弓形內的圓周角)...(1)
又因BE是∠ABC的內角平分線，故∠CBE=∠ABE=b (角平分線性質)...(2)
由(1)及(2)可得 ∠DBE=a+b
現考慮ΔABE，知∠DEB=∠BAE+∠ABE (Δ外角)
即 ∠DEB=a+b
於是 ∠DBE=∠DEB，故 BD=DE (等角對邊相等)
