中4級`多項式數學題;[ (20分!)

已知f(x)=(x^2+3x-1)(x+k)。

(a)求下列各項數的係數，答案以k表示。
(i)x
(ii)x^2

(b)若f(x)的x頂和x^2頂的係數相同，求k的值。

f(x)
=(x^2+3x-1)(x+k)
=x^3+kx^2+3x^2+3kx-x-k
=x^3+(k+3)x^2+(3k-1)x-k
x的係數是3k-1
x^2的係數是k+3
(b)
x項和x^2項的係數相同
3k-1=k+3
2k=4
k=2

__(a)__

f(x)=(x^2+3x-1)(x+k)

(i)
因為只有x項和常數項相乘才會出x項，所以
x項=3x(k)+(-1)x
　=(3k-1)x
x的係數為3k-1

(ii)
因為只有x項和x項相乘及x²項常數項相乘才會出x²項，所以
x²項=3x(x)+x²(k)
　=3x²+kx²
　=(k+3)x²
x²的係數為k+3
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
__(b)__

x項的係數和x²項的係數相同
即:
x項的係數=x²項的係數
　　　3k-1=k+3
　　　　2k=4
　　　　k=2

展開多項式得 f(x)=x^3+(k 3)x^2+(3k-1)x-k
所以x的係數為3k-1 (x前面的數)
x^2的係數為k+3
若f(x)的x項和x^2項的係數相同，
3k-1=k+3
即可得k=2