２條的幾何題　（ｆ３）圓

1. 幅圖有D問題，因為題目入面冇講明B點係切點，應該畫個一般D既圖。

過A作MN的垂線交MN於C，
過O作MN的垂線交MN於D，
過B作MN的垂線交MN於E。
則AC//OD//BE，且ABEC為一梯形。

現要證明：2 OD=AC+BE (即梯形的中位線定理)

連BC，設BC與OD交於F。

因AO=OB (AB為直徑)、AC//OF，故BF=FC (截線定理)
又因AO=OB和BF=FC，故 2 OF=AC (中點定理)

同理，因BF=FC (剛證)、FD//BE，故CD=DE (截線定理)
又因BF=FC和CD=DE，故 2 FD=BE (中點定理)

把兩式加起，得 2 (OF+OD)=AC+BE
即 2 OD=AC+BE，即A到MN的距離+B到MN的距離=圓O的直徑

2. AC與BD交於O，且因ABCD是菱形，
其對角線互相垂直平分，故有AC⊥BD，
且OA=OC和OB=OD。

故兩對角線把ABCD分成四個全等的直角三角形(SAS)。
由於切線⊥半徑，故圓O與AB的切點
與ΔOAB在AB上的垂足重合，即為同一點。

由於四個全等的三角形，ΔOAB、ΔOBC、ΔOCD、ΔODA
在斜邊上的高相等 (全等三角形對應邊)。
故以O為圓心，ΔOAB在AB上的高為半徑的圓，
剛好穿過四個三角形斜邊上的高的垂足，
亦即題中的圓與其他三邊均相切，證畢。