緊急 數學問題 幫忙.

1.)
設 {an} 是公比為q 的GP，Sn 為它的前 n項的和。若{Sn} 為AP，則 q=(1).

{an}: a1, a1q, a1q2, a1q3 ......

S1 = a1
S2 = a1(q2 - 1)/(q - 1)
S3 = a1(q3 - 1)/(q - 1)

{Sn} 為 AP:
S2 - S1 = S3 - S2
[a1(q2 - 1)/(q - 1)] - a1 = [a1(q3 - 1)/(q - 1)] - [a1(q2 - 1)/(q - 1)]
(q2 - 1) - (q - 1) = (q3 - 1) - (q2 - 1)
q2 - 1 - q + 1 = q3 - 1 - q2 + 1
q3 - 2q2 + q = 0
q(q - 1)2 = 0
q ≠ 0，所以 q = 1（重根）

=====
2.
數列{an} 是GP，an>0 ,且a2.a4 + 2a3.a5 + a4.a6=25 ，則a3+a5 =(5).

設數列 {an} 的公比為 q。

a2.a4 + 2a3.a5 + a4.a6=25
a1q.a1q3 + 2a1q2.a1q4 + a1q3.a1q5 = 25
a12q4 + 2a12q6 + a12q8 = 25
(a1q2)2 + 2(a1q2)(a1q4) + (a1q4) = 25
(a1q2 + a1q4)2 = 25
(a3 + a5)2 = 25
a3 + a5 = 5 或 a3 + a5 = -5 (捨棄，因 an > 0)

=====
3.)
一元二次方程 2kx+(8k+1)x+8k=0有兩不等實根，則 k 取值範圍是(k > 1/16)

判別式 ∆ > 0
(8k + 1)2 - 4(2k)(8k) > 0
64k2 + 16k + 1 - 64k2 > 0
16k + 1 > 0
16k > 1
k > 1/16

=====
4.)
已知數列{an} 為AP,滿足S14=28 ,則a5+a10=(2).

設 {an} 的公差是 d。

Sn = n[2a1 + (n - 1)d]/2
S14:
14[2a1 + (14 - 1)d] = 28
2a1 + 13d = 2
(a1 + 4d) + (a1 + 9d) = 2
a5 + a10 = 2

=====
5.
已知三個數G﹐H﹐I成AP﹐其平方和為450﹐兩兩之積的和為423﹐則H=(12).

設該 AP 的公差為 d。
則 G = H - d
及 I = H + d

平方和為 450:
G2 + H2 + I2 = 450
(H - d)2 + H2 + (H + d)2 = 450
(H2 - 2Hd + d2) + H2 + (H2 + 2Hd + d2) = 450
3H2 + 2d2 = 450 ...... (1)

兩兩之積的和為423:
GH + HI + IG = 423
(H - d)H + H(H + d) + (H + d)(H - d) = 423
H2 - Hd + H2 + Hd + H2 - d2 = 0
3H2 - d2 = 423
6H2 - 2d2 = 846 ...... (2)

(2) + (1):
9H2 = 1296
H2 = 144
H = 12 或 H = -12
=