急救 數學題目..

1.)
兩AP分別為{an}，{bn},其中 a1=25, b1=75, a100+b100=100 , 那麼{an+bn} 的前100項之和為(10000).

{an+bn} 的首項
= a1 + b1
= 25 + 75
= 100

{an+bn} 的第 100 項
= a100 + b100
= 100

{an+bn} 的首100項之和
= 100(a1 + a100)/2
= 100(100 + 100)/2
= 100(100)
= 10000

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2.)
設一AP的通項公式是an=3n-2 ，則其前 n項和的公式為(n(3n - 1)/2)

a1 = 3(1) - 2 = 1

an = 3n - 2

首 n 項之和
= n(a1 + an)/2
= n(1 + 3n - 2)/2
= n(3n - 1)/2

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3.)
設a1,a2,a3,a4 成GP，q=2 ，則 2a1+a2 / 2a3+a4=(1/4).

a1, a2, a3, a4 成 GP，公比 q = 2
a2 = a1q
a3 = a1q2
a4 = a1q3

(2a1 + a2)/(2a3 + a4)
= (2a1 + a1q)/(2a1q2 + a1q3)
= a1(2 + q)/[a1q2(2 + q)]
= 1/q2
= 1/(2)2
= 1/4

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4.)
若方程x-5x+m=0 與 x-10x+n=0 的四個實根適當排列後，恰好組成一個首項為1的等比數列，則 m：n 的值為(1 : 4).

設 e 和 f (e < f) 是 x2 - 5x + m = 0 的兩個實根。
e + f = 5 ...... (1)
ef = m ...... (2)

設 g 和 h (g < h) 是 x2 - 10x + n = 0 的兩個實根。
g + h = 10 ...... (3)
gh = n ...... (4)

(1) + (3):
e + f + g + h = 15
四個實根適當排列後是首項為 1 的等比數列。
設該等比數列的公比為 r。
則該等比數列的四項分別為：1, r, r2, r3
1 + r + r2 + r3 = 15
r3 + r2 + r - 14 = 0
(r2 + 3r + 7)(x - 2) = 0
r2 + 3r + 7 = 0 無實根（∆ < 0）。
所以，r - 2 = 0
r = 2
等比級數的四項分別是：1, 2, 4, 8

所以 e = 1, f = 4, g = 2, h = 8

(2) : (4)
m : n
= ef : gh
= (1)(4) : (2)(8)
= 1 : 4

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5.)
數列{an} 中，a1=1, 2an+1 - 2an =1 ，則a101=(51).

2an+1 - 2an =1
2(an+1 - an) = 1
an+1 - an = 1/2

公差 d = an+1 - an
所以，公差 d = 1/2

a101
= a1 + (101 - 1)d
= 1 + 100(1/2)
= 51

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6.
有4個數，其中前3個數成AP，後3個數成GP，並且第一個數與第四個數的和為 37，第二個數與第三個數的和為36，求這四個數

設第一個數是 b。
後三個數成 GP，所以後三數是：a, ar, ar2
前三數成 AP：
a - b = ar - a
b = 2a - ar
該四個數順序是：(2a - ar), a, ar, ar2

第一個數與第四個數的和為 37:
2a - ar + ar2 = 37 ...... (1)

第二個數與第三個數的和為36：
a + ar = 36
a(1 + r) = 36
a = 36/(1 + r) ...... (2)

Put (2) into (1):
2[36/(1 + r)] -[36/(1 + r)]r + [36/(1 + r)]r2 = 37
72 - 36r + 36r2 = 37(1 + r)
72 - 36r + 36r2 = 37 + 37r
36r2 - 73r + 35 = 0
(4r - 5)(9r - 7) = 0
r = 5/4 或 r = 7/9

當 r = 5/4:
a = 36/(1 + 5/4) = 16
2a - ar = 2(16) - 16(5/4) = 12
ar = 16(5/4) = 20
ar2 = 16(5/4)2 = 25

當 r = 7/9:
a = 36/(1 + 7/9) = 81/4
2a - ar = 2(81/4) - (81/4)(7/9) = 99/4
ar = (81/4)(7/9) = 63/4
ar2 = (81/4)(7/9)2 = 49/4

該四個數順序是 12, 16, 20, 25
或 99/4, 81/4, 63/4, 49/4
=