有趣的數學--0.999....=1?

問題出在第三行：
9/9 = 0.999 ........
這是不成立的。

事實上，
9/9 = 1

因為 9/9 = 9/9
所以造成了 0.999 ..... = 1 的錯誤。
=

2008-11-21 23:49:45 補充：
事實上，1/9 = 0.111 .... (循環小數) 是正確的，並非大約相等，而是真的相等。

錯誤的徵結是不能由 1/9 = 0.111.... 而不顧事實地說 9/9 = 0.999 ...... ！

0.9...= 1 是真確的

這個數式不是單純地表述LHS 的數字=RHS的數字

而是等號兩邊的概念相等

的確, 本人於高中時亦有為之迷茫,

但念大學時, 讀過實數(real number)的定義後, 才明白

0.9... 是一個概念,
而且它是一個實數, 所以只能(1)大於1,(2)少於1 或(3)等於1
它不能大於1 , 也不能少於 1,
所以它是等於1的

我們很多時候都會有接觸到兩件事物
於外表, 或感觀上的意義有分別時,
但其概念上的意義是一致的,
很粗淺地舉例,
1 個蘋果 和 1 個橙, 同樣是有 1( 這個數量) 個物件
7.75xx 港元 和 1 美元的 價值是 相同

這些不同與相同, 是在乎其定義
而在此討論的題目
要弄清楚的定義就是 1 的定義
0.9... 的定義 和 "等於"的定義

其實兩個數字都冇問題，佢地的確相等。

簡單咁講，每個有限位數既數字都有兩個表達式，
例如
1=0.999...
1.5=1.4999...
3.14=3.13999...

如果你有學高等數學既話，可以有另一個睇法：

其實0.999...係一條無窮級數既極限值，
0.999...=0.9+0.09+0.009+...

佢可以睇成為一條GP，首項=a=0.9，公比=R=0.1，
於是佢既無限項之和=a/(1-R)=0.9/(1-0.1)=1
於是我地知道無窮級數0.999...收斂，且和為1。

你唔可以話0.999...永遠都唔等於1，
如果0.999...為有限位數，咁就唔會等於1，
但因為而家講緊既係無窮級數既極限值，所以係等於1。

應該咁講，如果你認為0.999...係會停既，有最後一個位既，
咁你所諗既只係一個有限小數，佢唔係1，
但因為而家佢係無限咁多個位，永遠唔會停，所以就係1。

抽象D咁講，其實一個數有兩個表達式，
係源於一開始定義一個數既時候唔同既定義方法，
佢亦反映左，兩個唔同既實數集合，可以有相同既上確界。

　　　　　‧
0.111......=0.1

Let x be 0.111.....

x=0.111...
10x=1.111...
9x=1
x=1/9
　　　　　　　　　　‧
Therefore, 0.111......=0.1=1/9

Since
1/9 * 9 =1
0.111...*9=1
0.999......=1

Therefore 0.999..... is "exactly" be 1. It may be regarded as the other
expression of 1, just like sin60 and cos30.

其實係咁既:
1同0.999.....其實係代表兩個數字
而佢地個值係好近
但小心,佢地個值是永不會相等的

所以嚴格黎講

1/9=0.111.....係錯的
應該係1/9~0.111.....


1x~0.999....
10x~9.999....
10x-1x~9x
9x~9
x~1
so
0.999.....~1
咁就岩la