有些難度的級數證明,歡迎(拜託)高手來挑戰

1. Ratio test
計算如下:
a(n)=(2n+1)*(1/2)^(2n+1)*C(2n, n)/(n+1)
a(n-1)=(2n-1)*(1/2)^(2n-1)*C(2n-2, n-1)/n
=>a(n)/a(n-1)=(2n+1)/(2n+2) --> 1 (Ratio test 失效)

2. Rabbe's test
續Ratio test ( r=1 case)
Rabbe test:
Suppose a(n)>0, a(n)/a(n-1)=1 - c/n + f(n)/n ( f(n)->0 )
If c>1 then Σa(n) conv.
if c<1 then Σa(n) div.
本題: a(n)/a(n-1)= (2n+1)/(2n+2)= 1 - 0.5/n + f(n)/n, where f(n)=1/(2n+2)
=> c= 0.5 < 1 故本題級數 div.

2008-11-04 01:45:24 補充：
1. Copestone果然不世出之高手,連源頭Kummer's test都找出來了
2. 本來想用Gauss's test (比Rabbe's 強些), 但不好寫,故作罷! Kummer's 更難寫吧!?

2008-11-04 01:55:05 補充：
謝謝Copestone的更正: 是Raabe's test 不是Rabbe's
真不知Copestone眼力怎這麼利!

2008-11-04 02:07:39 補充：
Copestone的提點:
本題a(n)與http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1608110110262
結果很像, 亦可由該處知本級數發散

2008-11-04 02:10:01 補充：
去念點generating fn 吧!
我也來考一題.

CO大果然不一樣
我只認得這三個 =.=
Raabe's test
Gauss's test
ratio test

對於正實數之級數，通常就記一條 Kummer's test 就好，因為它是很多其他 tests 的成因，特殊情形包括：

D'Alembert's test
Raabe's test 〔更正人名〕
Bertrand's test
Gauss's test
ratio test

2008-11-04 01:44:53 補充：
很明顯，一個正實數項級數之部份和收斂之充要條件為它是有界的〔當然發散之充要條件就是它是無界的〕，Kummer's test 那麼強是因為跟這是等價的，卻很少書提及。

可參考：
Tong, Jingchen (1994), "Kummer's Test gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series," American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5 (May), pp. 450-452.

2008-11-04 01:45:10 補充：
另外，此題從 Catalan 數之生成函數，一眼就看出此級數為發散，呵。

2008-11-05 02:46:09 補充：
書可以參看小冊子：

Lando, S.K., 2003, Lectures on Generating Functions (Student Mathematical Library, Vol. 23), AMS.

下列網址可偷下載：

http://www.mediafire.com/?bdxrtc11ixv

＝＝＝
如果沒有 Viewer，可從下面網址下載 WinDjView

http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=114927&package_id=124501&release_id=512272

如果這是正確的,真是感激不盡
只記得ratio test
請等我查證,當然如果大大們有更簡便的test,那也歡迎提出
(因目前無能力判斷,大概只要查到R's test就ok了,不是懷疑你,總不能連自己不確定的還亂給)

2008-11-04 02:03:30 補充：
感謝Copestone大的指導,生成函數聽你說了不少次,可以從頭教起嗎?我難得想學數學說
菩提大大謝謝你的貼心,找最容易的讓我懂
我知道此極限是無窮大,但證不出才問
還好Co大出手,不然我打錯人名怎查資料阿
Co大沒指正證明,看來就沒問題了,過兩天會給最佳,且會把這個test記住的

2008-11-05 05:00:45 補充：
肛溫阿