急,我有d關於A Maths o既問題想問吓大家 (MI)

P(n): 1x4 + 2x7 + 3x10 + ..... + n(3n+1) = n(n+1)2

其中 n 為正整數



當 n = 1:

左方 = 1 x 4 = 4

右方 = 1 x (1+1)2 = 4

左方 = 右方

因此，P(1) 成立。



假設 P(k) 成立，

則 1x4 + 2x7 + 3x10 + ..... + k(3k+1) = k(k+1)2

當 n = k + 1:

證明：1x4 + 2x7 + ..... + (k+1)[3(k+1)+1] = (k+1)[(k+1)+1)2

右方

= [1x4 + 2x7 + ..... + + k(3k+1)] + (k+1)[3(k+1)+1]

= k(k+1)2 + (k+1)[3k+3+1]

= (k+1)[k(k+1) + (3k+4)]

= (k+1)[k2+k+3k+4]

= (k+1)(k2+4k+4)

= (k+1)(k+2)2

= (k+1)[(k+1)+1]2

= 左方

因此，當 P(k) 成立時，P(k+1)亦必成立。



根據數學歸納法的原理，對於所有正整數 n , P(n) 成立。

=

1 乘 4 + 2 乘 7 + 3 乘 10 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)²
設s(n)為命題

考慮s(1)
左=1(3 + 1) =4
右=1(1 + 1)²=4
左=右,所以s(1)成立

假設s(k)成立,考慮s(k+1)

左
=1 乘 4 + 2 乘 7 + 3 乘 10 + ... + k(3k + 1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k + 1)²+(k+1)(3k+4)
=(k+1)[k(k+1)+(3k+4)]
=(k+1)(k²+k+3k+4)
=(k+1)(k²+4k+4)
=(k+1)(k+2)²
=(k+1)[(k+1)+1]²
=右

所以s(k+1)成立

根據數學歸納法的原理,對於所有自然數n,s(n)都成立