應是鍥而不捨還是鍥而不舍

「舍」字與「捨」字在特定的情況下是相通的，解作「放棄」，並不只有平日常見「宿舍」的用法。反之，「捨」字的用法則全與「舍」字通。換句話說，用「捨」字的詞語，全可換成「舍」；用「舍」字的，有些卻不能換成「捨」。

這是漢字常見的現象，簡單來說，古時候文字不多，但足夠日常應用，後來事物漸繁，文字不敷應用，便需要「生產」新字。最簡單的方法，莫過於加一個偏旁給舊字，如上文說的「舍」、「捨」，或者「周」、「週」等。這類字多數是新字用例可以舊字取代，反之不然。不過要注意的是，並非其中有部分同形便有這種特性。

「鍥而不舍」一詞，典出《荀子．勸學》：「鍥而舍之，朽木不折；鍥而不舍，金石可鏤。」意思是雕刻一下便放棄，即使腐朽的木頭也不會折斷，但是不斷努力雕刻，連金石一樣的硬物也可以鑿破。

由於「鍥而不舍」的「舍」字，是「放棄」之意，自可換成「捨」字。可說是二字在這個情況下是相通的。但是成語較為古雅，所以不少人喜歡用較為古老的字眼，便寫成「鍥而不舍」。平日寫文章，「舍」、「捨」二字都沒有問題，只要全文統一便好。

希望可以解答到你的問題！
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鍥而不捨

鍥﹕用刀子刻 捨﹕捨棄、停止

意思﹕雕刻器物，一直不停地刻下去，毫不放鬆。

比喻有恆心，堅持不懈。

至於捨字是否能與舍字通用, 就尚未找到證據。