是先乘和除

在四則混算裡, 小括號比中括號優先；若沒有括號則需先算乘方, 再算乘除, 後算加減等等規則, 是一種約定。有了這些約定, 同一條式子計算出來的答案才會相同, 不會有這幫人用規則A得一個答案, 另一幫人用規則B然後得出截然不同的答案。



至於為什麼要先乘除, 而不從一開始就規定先加減, 或先加乘等等, 其實與加減乘除的概念和哪一種較方便有關。



先來看看台大數學系朱建正教授所言：



在合併式中，如果事先約好一種優先順序，也可以節省括號。「先乘除後加減」是一種有良好效果的約定。因為加減是對同等類量執行的，乘除時，乘數和除數是對被乘數和被除數加以操作時的作用數，作用結束後，即可用加減加以處理。例如上超市買東西，每種東西有單價及數量，先將單價乘以數量再加起來，就是總價。這就是「線性代數」中所講的「線性組合」，再來就是「多項式」。線性組合和多項式這兩種代數式能以目前這種面貌出現，全拜先乘除後加減的約定之賜。(from www.bud.org.tw/answer/9912/991274.htm)



上文所指同等類量, 即表示各加數應屬於同一類型的物件。例如：現有2個盒, 分別盛有6隻和4隻雞旦。

列式計算蛋的總數：6隻+4隻=10隻;

你不會這樣算：2盒旦+4隻=6隻 或 =6盒；因為這條式中各「加數」與「和」的名數不統一, 2表示盒, 4表示隻, 非但單位不同, 一個是盒, 一個是蛋, 乃兩類不同的物件。

減數同理。



至於乘除。

首先, 乘除其實是加減的簡約式(同理, 乘方是乘的簡寫式)：

如果我有4個$2, 用加數計算總額是：$2+$2+$2+$2=$8

乘式則能以較短的方法顯示同一種運算：$2x4 = $8 (指將$2相加4次, 與加式同義)

乘數4對於被乘數$2來說, 起了一個作用, 代表2相加的次數, 而不是多少錢或多少隻、多少盒等。

除法亦然。



因有正負數的概念, 故先加後減還是先減後加對最終答案沒有影響, 同理, 先乘後除還是先除後乘均對答案沒有影響。故加減為一組、乘除為一組。

但是, 乘除與加減需分開運算。因為乘除式中的「乘數」及「除數」與加減式中的各項非同等類量, 故必需先將其變成同等類(即計算「積」及「商」)才能進行加減。



用朱教授超市買東西的例子, 若我買1塊$3的橡皮擦, 4枝$2的鉛筆, 計算總價錢：

用加式, $3+$2+$2+$2+$2=$11, 留意所有數字都是指金額, 為同等類量；

用乘式混合加式, $2x4+$3, 4代表需將$2加4次, 4與$3為非同等類量, 不能相加。



上文說明加減與乘除需分先後, 但為什麼是先乘除而非先加減呢？這只是方便與否的問題, 由於先乘除與我們日常生活的應用與思維較相似及方便, 故採用之。



試想想我們往買東西的習慣, 在未有全電腦化收銀系統前或需要心算的時刻, 我們會將同一種類/價錢的貨物先作分類, 計算分類小計金額, 然後再相加得出總金額。就好像我們去吃迴轉壽司時, 若想計算價錢, 待應不是會把相同顏色的碟的數量算好, 乘以價錢, 然後才相加的嗎？



哪條式較簡便？

約定先乘除：

$9x12+$15x3+$18x2+$35x2=$108+$45+$36+$70=$259



若約定先加減, 則需加小括號, 式子變為：

($9x12)+($15x3)+($18x2)+($35x2)=$108+$45+$36+$70=$259



從上例看出, 先乘除的約定有利於我們日常生活的使用。

但當然, 在某些情況下(見下例)先乘除可能反而會令式子累贅, 但針無兩頭利, 我們只能採取較接近生活思維的一種, 而捨棄特殊的例子。



若我們吃迴轉壽司時, 各種顏色的碟分別吃了3碟, 總收費：

約定先乘除, 每種顏色先算小計：

$9x3+$12x3+$15x3+$18x3+$20x3+$25x3+$35x3

=$27+$36+$45+$54+$60+$75+$105=$402



約定先加減, 將各種價錢小計, 再乘碟數3：

($9+$12+$15+$18+$20+$25+$35)x3

=$134x3=$402

在加拿大(其他國家都有類似)其實有這樣的一個律定 : B E D M A S, 完成一條數学問題必須跟着此次序做。

1) B - BRACKETS 括號 ( )
2) E - EXPONENTS 指數 例如:2^
3) D - DIVISION 除 ÷ (註)
4) M - MULYIPLICATION 乘 × (註)
5) A - ADDITION 加 ＋ (註)
6) S - SUBTRACTION 減 (註)

註: 但係至於應先乘或除,加或減就有這樣的律定:
Multiplication and division are of equal precedence, and addition and subtraction are of equal precedence
誰先出現,就應先做,沒有律定一定是先乘後除,或先除後乘;先加後減,或先減後加。

你可以問下你個數學老師

如果是有括號,就算括號裡的乘或除;
如果沒有括號,就從左至右計算