求救！超急！中四 附加數 數學歸納法 (20點)

1. 設S(n)為命題
“32n – 8n – 1可被64整除”。
設f(n) =32n– 8n – 1。
當n = 1，
f(1) = 0可被64整除
\ S(1) 成立。
假設S(k) 成立。
即 對於某些自然數m，
f(k) = 32 k – 8k – 1 = 64m
當n = k + 1，
f(k + 1) = 32k+2 – 8(k + 1) – 1
= 9(32 k – 8k – 1) + 64k
= 9( 64m ) + 64k
= 64( 9m + k)
可被64整除
\ S(k + 1) 成立。
根據數學歸納法的原理，S(n)對所有自然數n皆成立。


2. 設S(n)為命題
“3 52n+1 + 23n+1可被17整除”。
設f(n) = 3 52n+1 + 23n+1。
當 n = 1，
f(1) = 391可被17整除
\ S(1) 成立。
假設S(k) 成立。
即 對於某些自然數m，
f(k) = 3 52k+1 + 23k+1 = 17m
當 n = k + 1，
f(k + 1) = 3 52k+3 + 23k+4
= 25(3 52k+1 + 23k+1) – 17(23k+1)
= 25( 17m ) – 17(23k+1)
= 17( 25m – 23k+1)
可被17整除
\ S(k + 1) 成立。
根據數學歸納法的原理，S(n)對所有自然數n皆成立。


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