(超急！)中四附加數---數學歸納法2(10點！)

P(n): 對所有自然數，n3-4n+9 = 3Q(n)，其中 Q(n) 為 n3-4n+9 除以 3 的商數。

當 n = 1, (1)3 - 4(1) + 9 = 6 = 3x2
所以 P(1) 正確。

假設 n = k 正確, k3-4k+9 = 3Q(k)
當 n = k+1,
(k+1)3-4(k+1)+9
= k3+3k2+3k+1-4k-4+9
= k3+3k2-k+6
= (k3-4k+9)+(3k2+3k-3)
= 3Q(k)+3(k2+k-1)
= 3[Q(k)+(k2+k-1)]
P(k+1) 亦正確。

根據數學歸納法的原理，對所有自然數 n，P(n) 正確。

=====
P(n): 對所有自然數，32n+22n-2 = 5Q(n)，其中 Q(n) 為 32n+22n-2 除以 5 的商數。

當 n = 1, 32(1)+22(1)-2 = 10 = 5x2
所以 P(1) 正確。

假設 n = k 正確, 32k+22k-2 = 5Q(k)
當 n = k+1,
32(k+1)+22(k+1)-2
= 32k+2+22k-2+2
= 3232k+2222k-2
= 33(32k+22k-2)-3322k-2+2222k-2
= 33(32k+22k-2)-(32-22)22k-2
= 33x5Q(k)-5x22k-2
= 5[33Q(k)-22k-2]
P(k+1) 亦正確。

根據數學歸納法的原理，對所有自然數 n，P(n) 正確。

=====
P(n): 對所有自然數，5n-4n-1 = 16Q(n)，其中 Q(n) 為 5n-4n-1 除以 16 的商數。

當 n = 1, 5(1)-4(1)-1 = 0 = 16x0
所以 P(1) 正確。

假設 n = k 正確, 5k-4k-1 = 16Q(k)
當 n = k+1,
5k+1-4(k+1)-1
= 5x5k-4k-4-1
= 5x5k-4k-5
= 5(5k-4k-1)+5(4k+1)-4k-5
= 5x16Q(k)+16k
= 16[5Q(k)+k]
P(k+1) 亦正確。

根據數學歸納法的原理，對所有自然數 n，P(n) 正確。

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P(n): 對所有自然數，4n-3n+17 = 9Q(n)，其中 Q(n) 為 4n-3n+17 除以 9 的商數。

當 n = 1, 4(1)-3(1)+17 = 18 = 9x2
所以 P(1) 正確。

假設 n = k 正確, 4k-3k+17 = 9Q(k)
當 n = k+1,
4k+1-3(k+1)+17
= 4x4k-3k-3+17
= 4x4k-3k+14
= 4(4k-3k+17)-4(-3k+17)-3k+14
= 4x9Q(k)+12k-68-3k+14
= 4x9Q(k)+9k-54
= 4x9Q(k)+9(k-6)
= 9[4Q(k)+(k-6)]
P(k+1) 亦正確。

根據數學歸納法的原理，對所有正整數 n，P(n) 正確。
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