(超急！)中四附加數---數學歸納法(10點)

P(n): 對所有自然數，11n-4n = 7Q(n)，其中 Q(n) 為 11n-4n 除以 7 的商數。

當 n = 1, 11(1)-4(1) = 7 = 7x1
所以 P(1) 正確。

假設 n = k 正確, 11k-4k = 7Q(k)
當 n = k+1,
11k+1-4k+1
= 11x11k-4k+1
= 11(11k-4k)+11x4k-4x4k
= 11x7Q(k)+(11-4)4k
= 11x7Q(k)+7x4k
= 7[11Q(k)+4k]
P(k+1) 亦正確。

根據數學歸納法的原理，對所有自然數 n，P(n) 正確。

=====
P(n): 對所有自然數，n(n+1)(n+2) = 3Q(n)，其中 Q(n) 為 n(n+1)(n+2) 除以 3 的商數。

當 n = 1, 1(1+1)(1+2) = 6 = 3x2
所以 P(1) 正確。

假設 n = k 正確, k(k+1)(k+2) = 3Q(k)
當 n = k+1,
(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
= (k+1)(k+2)(k+3)
= (k+1)(k+2)k+(k+1)(k+2)3
= 3Q(k)+3(k+1)(k+2)
= 3[Q(k)+(k+1)(k+2)]
P(k+1) 亦正確。

根據數學歸納法的原理，對所有正整數 n，P(n) 正確。

=====
P(n): 對所有自然數，2n3+n = 3Q(n)，其中 Q(n) 為 2n3+n 除以 3 的商數。

當 n = 1, 2(1)3+(1) = 3 = 3x1
所以 P(1) 正確。

假設 n = k 正確, 2k3+k = 3Q(k)
當 n = k+1,
2(k+1)3+(k+1)
= 2k3+6k2+6k+2+k+1
= 2k3+6k2+7k+3
= (2k3+k)-k+6k2+7k+3
= (2k3+k)+6k2+6k+3
= 3Q(k)+3(2k2+2k+1)
= 3[Q(k)+(2k2+2k+1)]
P(k+1) 亦正確。

根據數學歸納法的原理，對所有正整數 n，P(n) 正確。

=====
P(n): 對所有自然數，4n3-n = 3Q(n)，其中 Q(n) 為 4n3-n 除以 3 的商數。

當 n = 1, 4(1)3-(1) = 3 = 3x1
所以 P(1) 正確。

假設 n = k 正確, 4k3-k = 3Q(k)
當 n = k+1,
4(k+1)3-(k+1)
= 4k3+12k2+12k+4-k-1
= 4k3+12k2+11k+3
= (4k3-k)+k+12k2+11k+3
= (4k3-k)+12k2+12k+3
= 3Q(k)+3(4k2+4k+1)
= 3[Q(k)+(4k2+4k+1)]
P(k+1) 亦正確。

根據數學歸納法的原理，對所有自然數 n，P(n) 正確。
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