困擾的數學題

應該只能說1是0.9的極限吧！？
用極限可以求出下列的算式：
a=0.999999...
a=0.9+0.09+......+0.......(n-1個0)9
=0.9(1+0.1+0.01.......+0......(n-2個0)1)
=0.9(1+(1/10)+......+1/10^n-1)
a=0.9 b
利用等比數列計算b：
(1/10^n-1)/(1/10-1)=({1-10^n}/10^n)/({1-10}/1)
=(10^n-1)/(9*10^n-1)=10/9(1-1/10^n)
a=0.9b
=9/10*10/9(1-1/10^n)=1-1/10^n
lim
0.9999999= n→∞(1-1/10^n)
lim
=1-n→∞1/10^n
大約=1-0
大約=1
所以只能說0.999999很接近1但不等於1

2008-08-31 09:06:28 補充：
對不起，上面的lim跟n→∞是合起來的

2008-08-31 09:26:28 補充：
在極限的狀況下，我們把0.999999…視為1
類似四捨五入嗎(冏)
在很多場合下0.9…=1
可是有人也認為此式不成立：
a=0.9…
10a=9.9…
9a=9(就是此式有人不認同)
原因：
0.9…有n個9，乘10後小數點後只剩n-1個9(n=∞，大家應該知道，可是有人認為∞也可以變一個數)
所以他們認為9a=8.9…
而有人又認為a=8.9…=9
因為10a-a=89.9…-8.9…=81
a=9
而又有人認為會再-1個9，就這樣，爭吵不斷地下去
看你要支持那邊啦

2008-08-31 09:27:13 補充：
只不過有人還是會反扳抗：
0.333…=1/3
同乘3會變成0.999…=1
可是就像copeatone大大所講的：
很多時候我們把無窮級數跟極限本身等同起來
所以乘3後，會變0.999...的極限3/3=1
因0.333…的極限=1/3
可以了嗎？

2008-08-31 09:27:41 補充：
上面我補充的可以用蘋果來講(就是10a=9.9…的算式)
把蘋果消掉一點的一點的皮，對於很計較的人來說，不算是完整的，可是對我們一般人說，算是1顆了吧！！！這就是問題所在處
如果有那種蘋果10顆，以計較的角度來看是9.9...，拿掉一個後是8.9…1嗎。
可是以我們而言，算是9顆
這就是觀念問題
這個問題…
乾脆去問神1=0.9…嗎，再ㄅㄨㄚˇ個ㄅㄨㄝ吧

2008-08-31 09:28:18 補充：
其實有一個算式可以讓那些說1=0.9...的人再也不說1=0.9...了
0.9...=a
9.9...=10a
9=9a
1=a
問題是，要把1倒回去此式才能算成立
1=a
9=9a
10=10a
1=a
結果是：倒不回去
這會讓那些說1=0.9...的人○︵○|||了起來

2008-08-31 09:28:25 補充：
這就像a/0一樣
假如a>0或a<0
a/0=x(假設)
可是x*0=0
倒不回去
所以此式不成立

2008-08-31 09:29:23 補充：
資料來自http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1508081301198
的最佳解答
我的回答

2008-08-31 10:29:42 補充：
0.333333333333333333333333...不等於1/3
只能說大約啊

2008-09-01 17:29:19 補充：
不對啊
1/3大約=0.33333333…
這個無法算出其正確的值
要使1/3=x，必需使3x=1
而x=0.33333333…，則3x=0.999999…
1/3是0.33333333的極限

2008-09-01 17:31:39 補充：
我們只是把他說的清鬆
因為一個式子要成立，必需要讓此式可以倒過來

首先你要先接受無窮小數的存在,否則怎麼算都是枉然
當然你必可接受1/3=0.333333.......,也就是說有些分數可表示成無窮小數
但反過來無窮循環小數必可表示成分數形式(分子分母為整數)?,特別是變成整數(你能接受?)
數學家已定義了無窮循環小數是存在了,1號大大的證明很清楚,我用另一種方式讓你接受0.9999..=1
你只要想0.9999....與1的距離是0.000......是沒有任何距離的,因此0.9999......=1
這對初學者而言有些抽象,之前許多大大也為無窮級數＝一值(如你的0.9+0.99+........=1)辯證過
因為不知你的程度到哪,所以不敢用使用太正規的證明

or

0.9 + 0.09 + 0.009 + .....

= 0.9 / ( 1 - 0.1 )

= 0.9 / 0.9 = 1

是等於1
　　　　_
設　X=0.9
　　　　_　　　　_
10X = 9.9= 9 十 0.9= 9 十 X

9X = 9

X = 1