有趣的數論題目(給另一表現優良者最佳解答)

am-an=7^am-1 -7^an-1
要被20整除則末兩位之差有可能為00,20,40,60,80
而7的次方末兩位只有可能為07,49,43,01
按照以上敘述，若am-an是20的倍數，末兩位必為00
若題目條件成立意謂著7^am-1與7^an-1末兩位相等
不過在下是先假設題目條件不成立
7的次方末兩位是4個一循環
所以7^am-1的末兩位取決於am-1除以4的餘數
am-1=7^am-2=(4+3)^am-2
利用二項式定理展開，前面含有4的次方的部分都可整除
只留下3^am-2
同理，7^an-1的末兩位也取決於3^an-2除以4的餘數
既然當初說不成立，表示3^am-1,3^an-1除以4所得餘數不同
再來找3的次方除以4所得餘數的規律
3^1除以4餘3
3^2除以4餘1
3^3除以4餘3
3^4除以4餘1
...
可見兩個一循環，餘數決定在am-2與an-2是奇數或偶數
am-2=7^am-3,an-2=7^an-3
7的次方一率都是奇數，所以am-2,an-2都是奇數
由以上過程可知，3^am-2,3^an-2除以4所得餘數相同
也就是7^am-1,7^an-1末兩位相同，與假設矛盾
所以am-an必可被20整除
在下只是高中生，寫得不好請多見諒

歹勢，在下只有看過歸納證明法和矛盾證明法
在下不確定直接證明您是否接受，所以只好用矛盾證法

7^2≡-1(mod50) => 7^4≡1(mod100)

a_m≡7^(4k+3)≡7^3≡43(mod100)