請問一下 1+1 = ?

以後１＋１為什麼會等於２　大學會有證明　單單一個證明可以讓你抄到手軟



不要小看這個公式，1+1=2登上科學界‘最偉大公式’之一。
有不少人都可能曾經問過"為何1+1=2？"這個看似多餘(!?)的問題。現在我嘗試向有興趣的網友簡單介紹一下怎樣在公理集合論的框架內証明 "1+1=2" 這句對絕大多數人來說都\"顛撲不破\"的數學述句。首先，大家要知道在集合論的脈絡中我們討論的對象是各式各樣的集合（或類 (class)，它們和集合的分別在此不贅），故此我們經常碰到的自然數在這裡也是以集合（或類）來定義。例如我們可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：



0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}



〔比如說，如果我們從某個屬於１這個類的分子拿去一個元素的話，那麼該分子便會變成0的分子。換言之，１就是由所有只有一個元素的類組成的類。〕



現在我們一般採用主要由 von Neumann 引入的方法來界定自然數。例如：



0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}



[Λ為空集]



一般來說，如果我們已經構作集n, 那麼它的後繼元(successor) n* 就界定為n∪{n}。



在一般的集合論公理系統中（如ZFC）中有一條公理保證這個構作過程能不斷地延續下去，並且所有由這構作方法得到的集合能構成一個集合，這條公理稱為無窮公理(Axiom of Infinity)(當然我們假定了其他一些公理（如並集公理）已經建立。



〔注：無窮公理是一些所謂非邏輯的公理。正是這些公理使得以Russell 為代表的邏輯主義學派的某些主張在最嚴格的意義下不能實現。〕



跟我們便可應用以下的定理來定義關於自然數的加法。



定理：命\"|N"表示由所有自然數構成的集合，那麼我們可以唯一地定義映射A：|Nｘ|N→|N，使得它滿足以下的條件：
(1)對於|N中任意的元素x，我們有A(x,0) = x ；
(2)對於|N中任意的元素x和y，我們有A(x,y*) = A(x,y)*。



映射A就是我們用來定義加法的映射，我們可以把以上的條件重寫如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。



現在，我們可以証明"1+1 = 2" 如下：
1+1
= 1+0* (因為 1:= 0*)
= (1+0)* (根據條件(2))
= 1* (根據條件(1))
= 2 (因為 2:= 1*)



〔注：嚴格來說我們要援用遞歸定理(Recursion Theorem)來保證以上的構作方法是妥當的，在此不贅。]



1+ 1= 2"可以說是人類引入自然數及有關的運算後"自然\"得到的結論。但從十九世紀起數學家開始為建基於實數系統的分析學建立嚴密的邏輯基礎後，人們才真正審視關於自然數的基礎問題。我相信這方面最"經典\"的証明應要算是出現在由Russell和Whitehead合著的"Principia Mathematica"中的那個。
我們可以這樣証明"1+1 = 2"：


　首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以對於任意的集合γ，我們有
　γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根據集合論的外延公理(Axiom of Extension)，我們得到1+1 = 2。]

１＋１＝３
你的＂３＂
不會是說～
一個男人＋一個女人＝一個男人、一個女人、一個小孩
吧！？

依我猜測 .. 閣下從腳趾頭到頭頂，沒有一處不入低能兒的型格阿 .. ＝＝

您可以用一隻手指頭加上一隻手指頭等於兩隻手指頭來算
或者是您的老師想問腦筋急轉彎...
以下幾個答案供您參考：
1.田
因為1+1寫在一起，等於是上下兩畫
2.王
一
+
一
從上寫到下
3.眼鏡公司
在下也不知為什麼...只是在本子上看到的...
希望在下的回答對您有幫助!


2008-08-25 14:47:16 補充：
手指頭最方便...

2008-08-25 15:31:26 補充：
在下給您一個建議

在心裡默屬一遍

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

1+1=2

2+1=3

3+1=4

4+1=5

5+1=6

6+1=7

7+1=8

8+1=9

9+1=10

這樣您就不會忘記1+1=2了

2008-08-25 15:33:24 補充：
事實上國小的時候老師這樣講在下就這樣記

長大後就覺得理所當然了~

從來沒有什麼公式...

看了大家的回答
怎麼 問這個呢
還有人說 1+1等於1呢
一堆沙子 +一堆沙子 等於一堆沙子
所以 還是等於1壓
這沒有答案吧
正常的 1+1 當然等於2囉

那1+2 1+3 1+4...呢
數學嘛

你要問的答案是數字還是國字？
如果是數字的話就是「2」
如果是國字的話就是「王」
還有一種比較幼稚的答案
就是「11」
因為手指頭左手比一
右手也比一
兩支手靠在一起就看起來像11

2008-08-28 20:04:16 補充：
請你告訴我你是怎麼算的。

2008-08-28 20:21:10 補充：
你是不是把這個問題想得太複雜了！
你是往「一個男人跟一個女人結婚，之後就會生一個小孩」這一方面想是不是？
是的話你就算錯了！
因為如果是這樣的話，你的老師就會直接問你「一個男人+一個女=?」
所以正確的答案應該是「2」。

2008-09-03 16:36:06 補充：
如果沒有讓你滿意的解答的話，那麼你就選當最佳解答我吧！

2008-09-03 16:37:32 補充：
我打錯了
是如果沒有讓你滿意的解答的話，那麼你就選我當最佳解答

1+1=2
就是像是一個蘋果跟一個香蕉放在一起
問你有幾樣東西阿!

1+1ㄚ不是等於2嗎?!


還是有其他的解題方式呀?!


我也想要知道答案!!