有趣的數論題目(高中生也能做)

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2008-08-25 7:26 pm

數列 {an} 定義如下：a1 = 7 , an= 7an-1 (n >= 2)

証明對任何 m, n >= 2，am- an 可被 20 整除
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an= 7an-1 是指: a_n=7^(a_n-1)

更新1:

To腐敗大大:您寫得很精簡也很有條理 but Fermat little 我早忘了是啥(大學代數好像有學過) 能不能後半部改用高中生看得懂的方式來補充,一百分的拍謝與感謝 To醬油:你可別刪,我只看了大概還沒仔細看(因為你的邏輯有點像寫小說) 我還要再適應一下

更新2:

To醬油:你將來會很適合做研究,其實你的思路及探討過程有許多和我當初做此題有相似之處如去觀察7的次方(這是我說的高中方法),而其他高手則是用漂亮的mod形式呈現你的觀察不過你做完後,應該可以將它整理為直接證明形式

回答 (5)

[匿名]

2008-08-26 9:09 am

嗯!我看懂了,腐敗大大的解題方向是對於大於1的m,n
恆有a_m-a_n必為4的倍數&a_m-a_n必為5的倍數
是阿!不需直接用Fermat 定理,腐大的補充就很充分了

2008-08-26 01:12:28 補充：
To Nuee:你的an算錯了吧,a1=7,a2=7^7,7的7次方,不是7乘以7,...........
還好回答的兩位大大都有進入狀況

2008-08-26 10:55:15 補充：
To skywalker:你的方法也是正確的,你也是有用到mod4(這是此題大家都無法避免的),
於是再朝mod5也是合理的,謝謝你意見欄的補充,讓大家也參考不同的方法

2008-08-26 11:25:43 補充：
看了醬油的過程,這題應該可以被100整除,末2位都是43

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[匿名]

2008-08-26 3:53 am

4是a_(m-1)-a_(n-1)的因數

故a_m-a_n

=7^a_(m-1)-7^a_(n-1)

=7^a_(n-1){7^[a_(m-1)-a_(n-1)]-1}

其中7^[a_(m-1)-a_(n-1)]

=7^(4k)=49^(2k)=81^k=1(mod20)

thus,7^a_(n-1){7^[a_(m-1)-a_(n-1)]-1}=0(mod20)

2008-08-26 09:27:29 補充：
直接做關於20的模不就好了=.=

應該不用再分5出來吧

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[匿名]

2008-08-26 2:21 am

人家明明就說m,n都要大於2了

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[匿名]

2008-08-26 1:46 am

設 m=2 , n=1
a_m- a_n = 7^7 - 7 = 823536
得矛盾

倒是可以整除2
因為 ∀n : 7^n = ∏ 7 ∈ 奇數
奇數 - 奇數 = 偶數

要整除10就矛盾了

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Regal L

2008-08-26 12:05 am

蜉大:

我用excel拉一下，好像不成立呢!

2008-08-25 21:32:22 補充：
1,1
2,7
3,49
4,343
5,2401
6,16807
7,117649
8,823543
9,5764801
10,40353607
每5次一個循環，如果差5個次方減起來，可被100整除，還說的過去。

可能我才疏學淺。還是不了解題意。

2008-08-25 22:01:57 補充：
看了別人的答案，好像有一點了解題意了。

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收錄日期: 2021-04-20 20:06:51
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080825000010KK03810

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