有趣的數論題目(高中生也能做)

嗯!我看懂了,腐敗大大的解題方向是對於大於1的m,n
恆有a_m-a_n必為4的倍數&a_m-a_n必為5的倍數
是阿!不需直接用Fermat 定理,腐大的補充就很充分了

2008-08-26 01:12:28 補充：
To Nuee:你的an算錯了吧,a1=7,a2=7^7,7的7次方,不是7乘以7,...........
還好回答的兩位大大都有進入狀況

2008-08-26 10:55:15 補充：
To skywalker:你的方法也是正確的,你也是有用到mod4(這是此題大家都無法避免的),
於是再朝mod5也是合理的,謝謝你意見欄的補充,讓大家也參考不同的方法

2008-08-26 11:25:43 補充：
看了醬油的過程,這題應該可以被100整除,末2位都是43

4是a_(m-1)-a_(n-1)的因數

故a_m-a_n

=7^a_(m-1)-7^a_(n-1)

=7^a_(n-1){7^[a_(m-1)-a_(n-1)]-1}

其中7^[a_(m-1)-a_(n-1)]

=7^(4k)=49^(2k)=81^k=1(mod20)

thus,7^a_(n-1){7^[a_(m-1)-a_(n-1)]-1}=0(mod20)

2008-08-26 09:27:29 補充：
直接做關於20的模不就好了=.=

應該不用再分5出來吧

人家明明就說m,n都要大於2了

設 m=2 , n=1
a_m- a_n = 7^7 - 7 = 823536
得矛盾

倒是可以整除2
因為 ∀n : 7^n = ∏ 7 ∈ 奇數
奇數 - 奇數 = 偶數

要整除10就矛盾了

蜉大:

我用excel拉一下，好像不成立呢!

2008-08-25 21:32:22 補充：
1,1
2,7
3,49
4,343
5,2401
6,16807
7,117649
8,823543
9,5764801
10,40353607
每5次一個循環，如果差5個次方減起來，可被100整除，還說的過去。

可能我才疏學淺。還是不了解題意。

2008-08-25 22:01:57 補充：
看了別人的答案，好像有一點了解題意了。