還不錯的級數問題!

(1)令1+1/2+1/3+1/4+1/5=x,1=a,1/5=b

題目變成(x-a)(x-b)-x(x-a-b)=xx+ab-ax-bx-xx+ax+bx

=ab=1*1/5=1/5

(2)1/18+1/54+1/108+1/180+1/270+1/378+1/504+1/648+1/810+1/990

=1/9{1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+1/(5*6).......+1/(10*11)}

=1/9{1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4........-1/10+1/10-1/11}

=1/9(1-1/11)=10/99

(3)分子( 2^2+4^2+6^2......+100^2) - (1^2+3^2+5^2+.......+99^2)

=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+........(100-99)(100+99)

=3+7+11+.....+199=(3+199)*50/2=5050

分母1+2+3+....10+9+8+....+2+1=55+45=100

5050/100=50.5

(4)先證明當b-a=1時,

(a^2+b^2)/ab=(a^2+b^2-2ab)/ab+2=(b-a)^2/ab+2=1/ab+2

原題目:

(1^2+2^2)/(1*2)+(2^2+3^2)/(2*3)+..+(2000^2+2001^2)/(2000*2001)

=2+1/(1*2)+2+1/(2*3)+.....+2+1/(2000*2001)

=2*2000+(1-1/2+1/2-1/3+.....-1/2000+1/2000-1/2001)

=4000+(1-1/2001)=4000+2000/2001

有錯請指正,謝謝

第3題
1^2+3^2+5^2+7^2+....+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1)/3
2^2+4^2+6^2+8^2+....+(2n)^2=2n(n+1)(2n+1)/3
相減是n(2n+1)
當初居然熊熊沒想到可以用平方差，笨！
居然用Σk^2去導公式。

第4題
[n^2+(n+1)^2]/[n(n+1)]=n/(n+1)+(n+1)/n=[1-1/(n+1)]+[1+1/n]=2+1/n-1/(n+1)
原題
=2*2000+(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4.....+1/2000-1/2001)
=4000+2000/2001
還挺好玩的

看到你们的解題 實在很精彩 甘拜 崇拜

第3題是
[( 2^2+4^2+6^2......+100^2) - (1^2+3^2+5^2+.......+99^2)]/ (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=?
Sorry!

2008-08-20 22:46:58 補充：
哈囉

數學---

也是問給你看的啦，你昨天錯了不少題哦!

我還記得你的名字。

2008-08-23 08:16:19 補充：
克大師:

其實天猊的過程也很精彩，只是有時候為了答題採用率，不得已刪除，真可惜。

我跟天猊要看看有沒有備檔，把他貼在意見欄，供大家參考。

2008-08-23 08:20:39 補充：
以下皮諾丘的回答

1.(1+1/2+1/3+1/4)(1/2+1/3+ 1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)(1/2+1/3+1/4)=

(1+1/2+1/3+1/4)*1/5-1/5*(1/2+1/3+1/4)=1/5


2.1/18+1/54+1/108+1/180+1/270+1/378+1/504+1/648+1/810+1/990=

1/(3*6)+1/(6*9)+1/(9*12)+.......+1/(27*30)+1/(30*33)=1/3*(1/3-1/33)=10/99

2008-08-23 08:22:29 補充：
3. [(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+.....+(100^2-99^2)]/(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=(1+2+3+4+5+6+7+8+ ...... 97+98+99+100)/(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)
=101/2

2008-08-23 08:22:37 補充：
4.(1^2+2^2)/(1*2)+(2^2+3^2)/(2*3)+(3^2+4^2)/(3*4)+ …+ (2000^2+2001^2)/(2000*2001)
=[2+(1-1/2)]+[2+(1/2-1/3)]+......+[2+(1/2000-1/2001)]
=2000*2+(1-1/2001)
=4000+2000/2001

1.(1+1/2+1/3+1/4)(1/2+1/3+ 1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)(1/2+1/3+1/4)=

(1+1/2+1/3+1/4)*1/5-1/5*(1/2+1/3+1/4)=1/5


2.1/18+1/54+1/108+1/180+1/270+1/378+1/504+1/648+1/810+1/990=

1/(3*6)+1/(6*9)+1/(9*12)+.......+1/(27*30)+1/(30*33)=1/3*(1/3-1/33)=10/99


3.( 2^2+4^2+6^2+......+100^2) - (1^2+3^2+5^2+ .......+99^2)/ (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=

如果題目是[( 2^2+4^2+6^2+......+100^2) - (1^2+3^2+5^2+.......+99^2)]/ (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=?話
答案是
[(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+.....+(100^2-99^2)]/(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=(1+2+3+4+5+6+7+8+ ...... 97+98+99+100)/(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)=101/2


4.(1^2+2^2)/(1*2)+(2^2+3^2)/(2*3)+(3^2+4^2)/(3*4)+ …+ (2000^2+2001^2)/(2000*2001)=

[2+(1-1/2)]+[2+(1/2-1/3)]+......+[2+(1/2000-1/2001)]=2000*2+(1-1/2001)=4000+2000/2001