✔ 最佳答案
1.
首先要有一個觀念
在緯度θ處，緯線總長度為赤道的cosθ倍
證明：假設地球半徑R
赤道是一個圓，半徑R
請想像有一條地軸與赤道垂直，且其穿過地球中心，就是赤道圓的圓心
將20度緯線畫出來，並選擇其上任一點與地心連線
則連線與赤道平面的夾角就是20度
又因為20度緯線平面與赤道平面垂直，連線與緯線平面也夾20度
則20度緯線圓的半徑就是Rcos20度
您的題目沒有附圖也沒有三角函數表
所以在下只好自己用內插法算了
cos30度=根號3 /2=0.866
cos18度=根號(10+2根號5) /4=0.95
(中間計算過程就不詳列了，您可自己按計算機試試看)
cos20度=cos30度 +(cos18度-cos30度)*(30-20)/(30-18)
最後算出來cos20度=0.94
題目要的緯線長剛好是1113*cos20度
1113*0.94=1046.22
故選最接近(D)
2.
tan的圖形每經過π就一珣環
x介於0與2π之間，共計二個循環
在評鑑上把圖畫出來，得到結果如下
y=1-x會與第一循環交於兩點
y=1-x會與第二循環下半部交一點
故共計三個交點
3.
z^6=1，則z可以表示成cos2nπ/6 +isin2nπ/6
(1)|z|=1
既然z=cos2nπ/6 +isin2nπ/6，則z必落在單位圓上
|z|代表z與原點的距離，在單位圓上每一點到原點的距離都是1
(2)z^2=1
當n=3,6,9,...時，(2)才成立，故這選項應該是「不一定」
(3)z^3=1或z^3=-1
可以用另外一個角度來看待本題
z^6=1
z^6-1=0
(z^3+1)(z^3-1)=0
則z^3=1或z^3=-1可成立
(4)|z^4|=1
再回到(1),(2)的想法
z=cos2nπ/6 +isin2nπ/6
z^4=cos8nπ/6 +isin8nπ/6
可見z^4也在單位圓上，故|z^4|也是1
原本該貼多一點，可是回答字數上限實在太低了...
2008-08-14 20:34:06 補充：
4.
(1)sinx+cosx
利用函數疊合
sinx+cosx=根號2 (sinx/根號2 +cosx/根號2)=根號2 sinx+45度
sin函數的最小正週期為2π，故不合
(2)sinx-cosx
利用函數疊合
sinx-cosx=根號2 (sinx/根號2 -cosx/根號2)=根號2 sinx-45度
同樣，sin函數的週期為2π
(3)|sinx+cosx|
根據(1)，sinx+cosx=根號2 sinx+45度
|sinx+cosx|=|根號2 sinx+45度|
加上絕對值後，原本sin圖形中在x軸下方的部分會全部翻上來
故原來應該2π才重複一次的圖形，在π的地方就開始重複了
2008-08-14 20:34:16 補充：
(4)|sinx-cosx|
按照(2)，sinx-cosx=根號2 sinx-45度
|sinx-cosx|=|根號2 sinx-45度|
同上，絕對值加下去造成x軸下面部分上翻
故週期也變成π
(5)|sinx|+|cosx|
請您先畫出|sinx|與|cosx|的圖形
切記因為絕對值的關係x軸下方圖形上翻
然後將同一x座標所對應的兩y座標相加
不難發現週期變成π/2就會重複一次，故不合
其實有圖會更好，但在下不會處理這種圖，抱歉
2008-08-14 20:37:49 補充：
5.
假設4+3i=5(4/5 +3i/5)=5(cosφ +isinφ)
且cosφ=4/5，sinφ=3/5
則(4+3i)(cosθ +isinθ)=5(cosφ +isinφ)(cosθ +isinθ)
=5(cosφ+θ +isinφ+θ)
既然得到結果為一負實數，就代表cosφ+θ小於0，sinφ+θ=0
sinφ+θ=0，φ+θ=0度或180度
cosφ+θ小於0，90度小於φ+θ小於270度
綜合以上兩條件，φ+θ=180度
事實上φ在物理上被當作37度，這裡也可借用一下
φ+θ=37度+θ=180度
θ=143度
143度為第二象限角
2008-08-14 20:39:11 補充：
6.
抱歉，這題在下算的跟您答案不一樣，不知是題目抄錯或在下算錯
7.
(1)sinx小於cosx
當x=0，sinx=0，cosx=1
之後隨著x逐漸變大，sin逐漸變大，cos逐漸變小
當x=π/4，sinx=cosx=1/根號2
利用圖形看的話這個選項是成立的
(2)tanx小於sinx
當x=0，tanx=sinx=0
當x=π/4，tanx=1，sinx=1/根號2
由以上兩行可看出此選項明顯不對
(3)cosx小於tanx
當x=0，cosx=1，tanx=0
當x=π/4，cosx=1/根號2，tanx=1
郵第一行可看出此選項錯誤
2008-08-14 20:39:19 補充：
(4)sin2x小於cos2x
0小於x小於π/4
則0小於2x小於π/2
請您把圖形拿來對照一下
sin與cos在π/4處相交後，卻變成cos小於sin
故此選項也不能選
(5)這個選項能不能再重新寫一遍，在下看不懂...
2008-08-14 20:47:01 補充：
8.
z=1-i=根號2 (1/根號2 -i/根號2)=根號2 (cos-45度+isin-45度
1+z+z^2+z^3+...+z^9為一等比級數，首項1，公比z
代入等比級數和公式
1+z+...+z^9=1*(z^10-1)/(z-1)
z-1=1-i-1=-i
z^10=[根號2 (cos-45度+isin-45度)]^10=32(cos-450度+isin-450度)
=32(cos-90度+isin-90度)
cos-90度=0，sin-90度=-1
故z^10=-32i
1+z+...+z^9=(-32i-1)/(-i)=32+(1/i)=32-i
a+bi=32-i，a=32,b=-1
2008-08-14 20:48:14 補充：
9.
因為ax^2+bx+c是一元二次整係數方程式
若兩根為複數根則必須共軛
故有一根4+3i則另一根必為4-3i
在複數平面上標出0,4+3i,4-3i三點
則三角形底長6，高長4
面積=6*4/2=12
10.
因為沒辦法處理圖形，在下大概跟您描述一下交點的位置
原點有一個
在y=sinx圖形接近π時，下降過程中有一個交點
在y=sinx圖形穿過2π後，上升過程中有一個交點
在y=sinx圖形接近3π時，下降過程中有一個交點
在y=sinx圖形穿過4π後，上升過程中有一個交點
2008-08-14 20:48:47 補充：
在y=sinx圖形接近5π時，下降過程中有一個交點
在y=sinx圖形穿過6π後，上升過程中有一個交點
在y=sinx圖形接近7π時，下降過程中有一個交點
在y=sinx圖形穿過8π後，上升過程中有一個交點
在y=sinx圖形接近9π時，下降過程中有一個交點
當超過10π後y=sinx再也碰不到y=x/10π的圖形，因為x/10π已經超越sinx的最大值1
再來往負方向找，也是得到類似結果，只是下降與上升必須互換
故正方向、負方向各交9點
再加上原點，共19個交點
符合結論的敘述是(3)
11.
甲每走一圈，乙恰跑2圈
時間相同情況下，速率與路程成正比
甲路程2*30*π=60π(m)
2008-08-14 20:49:28 補充：
乙路程2(2*50*π)=200π(m)
故二人速率比=路程比=60π:200π=3:10
所以當甲路程45公尺時，乙路程應該45*10/3=150公尺
12.
假設角AOB=θ
則三角形AOB的面積可表示為1*1*sinθ/2=sinθ/2=3/10
sinθ=3/5
因為AB=BC，角AOC=2角AOB
因為θ是銳角，sinθ=3/5，cosθ=4/5
sin角AOC=sin2θ=2sinθcosθ=24/25
三角形AOC面積=1*1*sin角AOC/2=(24/25)/2=12/25
剩下的在下會繼續補充
2008-08-14 23:41:08 補充：
13.
π/4小於θ小於3π/4
其中包含θ=π/2
當θ=π/2時，tanθ是無線大(或說沒有意義)
所以tanθ的範圍並不是限定在-1與1之間
或者用圖形來看
y=tanx在通過(π/4,1)之後y值不段變大，直到π/2時爬到無線大
接著又從負無線大開始回升到(3π/4,-1)
故正確範圍解應為tanθ大於1以及tanθ小於-1
2008-08-14 23:48:59 補充：
14.
把拆成兩部分
根號3 sinx-cosx與8
x只能影響前面部分
故讓前面最小，y最小值就出來了
利用函數疊合
根號3 sinx-cosx=2(根號3 /2 sinx-1/2 cosx)=2sinx-30度
sin的最小值出現在角度為270度時
所以x-30=270,x=300度(5π/3)
2008-08-14 23:55:29 補充：
15.
sin15度+icos15度並不是標準寫法，故必須正餘弦互換才能運算
則此複數變成cos75度+isin75度
寫成標準式就可將角度直接乘以次方
(cos75度+isin75度)^10=cos750度+isin750度=cos30度+isin30度
(取最小正同界角)
cos30度+isin30度=(根號3 +i)/2
2008-08-15 00:11:03 補充：
16.
因為正切函數在一、三象限角為正，二、四象限角為負
故先將二、四象限角去除
(A)tan(-26π/11)
(-26π/11)+2π=-4π/11...第四象限角可去除
(B)tan(-17π/11)
(-17π/11)+2π=5π/11...第一象限角保留
(C)tan(-3π/11)
-3π/11...第四象限角去除
(D)tan(13π/11)
13π/11=π+(2π/11)...第三象限角保留
(E)tan(23π/11)
(23π/11)-2π=π/11...第一象限角保留
2008-08-15 00:11:18 補充：
剩下兩個第一象限角以及一個第三象限角
先將那個第三象限角換成第一象限角
tan(π+ 2π/11)=tan(2π/11)
現在變成
(B)tan(5π/11)
(D)tan(2π/11)
(E)tan(π/11)
三者比較
在第一象限中角度越大正函數值越大
故答案為(B)
2008-08-15 18:38:02 補充：
17.
先將f(x)疊合成sin
1/2(cosx+sinx)=根號2 /2(cosx/根號2 +sinx/根號2)=1/根號2 sinx+45度
(A)
sin函數的軸為2π，本選項錯誤
(B)
sin函數的振幅取決於sin前面的係數，故應為1/根號2，本選項錯誤
(C)
與y軸的交點，x=0
則函數值=1/根號2 sin0+45度=1/2
故本選項正確
(D)
在下懷疑您的答案有錯
因為題目沒有限制x的範圍
所以sin的圖形理論上應與x軸交無限多點
故在下認為此選項也正確
(E)
y=sinx的圖形的確是以原點對稱
可是現在x換成了x+45度
故圖形整個往左移動了π/4
所以原點不再是點對稱的中心點，此選項錯誤
2008-08-15 18:57:06 補充：
18.
tanπ/8=sinπ/8 /cosπ/8
(1+itanπ/8)/(1-itanπ/8)
=[(cosπ/8+isinπ/8)/cosπ/8]/[cosπ/8-isinπ/8)/cosπ/8]
=(cosπ/8+isinπ/8)/(cosπ/8-isinπ/8)
=(cosπ/8+isinπ/8)^2/(cosπ/8-isinπ/8)(cosπ/8+isinπ/8)
2008-08-15 18:57:15 補充：
=(cos2*π/8+isin2*π/8)/(cos^2 π/8 +sin^2 π/8)
=(cosπ/4+isinπ/4)/1
=cosπ/4+isinπ/4
cosπ/4+isinπ/4=1/根號2 +i/根號2=(根號2 +根號2 i)/2
答案(E)
2008-08-15 19:15:42 補充：
19.
sin函數對稱有兩種可能，一是點對稱如第17題，二是一般的線對稱
本題就屬後者
線對稱時，對稱軸有兩種位置，通過函數最大值之鉛垂線或通過函數最小值之鉛垂線
符合任一條件即可
必須先找出此函數的週期，才能知道何時擁有最大最小值
sin角度每多出2π就重複一遍
故3x=0到3x=2π之間為一週期
3x=2π,x=2π/3
故本函數週期2π/3
則在x=1/4週期以及3/4週期時有最大最小值
故最大最小值落在x=π/6和x=π/2
按照以上推論本選項正確
2008-08-15 19:35:13 補充：
6.
把算式列出給您參考，在下已經問過一個數學老師，根據他的說法在下是對的
y=f(x)可疊合成
2(根號3 /2 sinx +1/2 cosx)=2sinx+30度
2sinx+30度=2sin2004度，sinx+30度=sin2004度
2004度的最小正同界角為204度
故按照角度相等，x算出來是174度
應該沒有其他辦法了，反正在下的結論就是如此
2008-08-15 19:39:27 補充：
您第7題的選項(5)仍然不完整，不是等式也不是不等式
所以拜託您再補充說明一次吧，不好意思~
2008-08-16 09:30:54 補充：
啊，第六題再重解一遍，在下有個地方漏掉了
從疊合後那一步開始，之前都沒有問題
sinx+30度=sin2004度
2004度的最小正同界角找出來是204度
不過sin有一個非常重要的特性
sinx=sin180度-x
若sinx1=sinx2
則x1=x2或x1=180度-x2
所以應該還有另一角度(非同界角)sin值與204度相等
x1=204度
x2=204度或180-204=-24度
2008-08-16 09:33:40 補充：
若x2=204度，則x+30度=204度，x=174度
若x2=-24度，x+30度=-24度，x=-54度=306度
故此題應有二解，174度與306度
選擇符合題目條件者306度
