Math-球體

這個問題的答案是,其表面面積可以趨向無限大.

想法如下: 想像我把鐵球重鑄成一個直徑為d的長方體,該長方體的底為一邊長為開方(V/d)的正方形.

然後我在該長方體中盡可能挖出一個個直徑為d的球體,則那些球體的總體積少於原本的實心圓球體,但那些圓球體的總表面積大於兩個{[開方(V/d)] - 2d}為邊長的正方形面積.

(這是因為我比較該長方體的正方形面積和上半球的表面積,上半球的表面積一定比正方形減去最旁邊沒有球體的正投影部分大,而沒有球體的正投影部分的闊度一定少於d,否則可以再加入另一個球體)

但當我將d取極限至0時,由於V為非零正數,即球體的總表面積大於
lim(d->0) 2{[開方(V/d)] - 2d}^2 = 無限大

所以,只要把新鐵球盡量做得更細,則表面積會趨於無限大.