代數問題 (多項式)

假設 f(x) 除以 x(x2 +1 ) 之餘式為 Ax2 + Bx + C，

而商式為 Q。

被除數 = 除數 x 商數 + 餘數

因此；f(x) = x(x2 + 1)Q + (Ax2 + Bx + C)


f(0) = 0

(0)[(0)2 + 1]Q + [A(0)2 + B(0) + C] = 0

C = 0

所以：f(x) = x(x2 + 1)Q + (Ax2 + Bx)


f(x) 除以 (x2 + 1)，其餘數為 2x -3。

由於 f(x) = x(x2 + 1)Q + (Ax2 + Bx)

x(x2 + 1)Q 可被 (x2 + 1) 除盡。

故此 (Ax2 + Bx) 除以 (x2 + 1)，其餘數為 2x -3。

被除數的 x2 項為 Ax2，而除數的 x2 項為 x2，可知商數為 A。

(Ax2 + Bx) = A(x2 + 1) + (2x - 3)

Ax2 + Bx = Ax2 + A + 2x - 3

Ax2 + Bx = Ax2 + 2x + (A - 3)

比較 x 項： B = 2

比較常數項： A - 3 = 0

所以 A = 3


由於 A = 3, B = 2, C = 0

因此 f(x) 除以 x(x2 + 1) 的餘式為 3x2 + 2x。
=

2008-07-10 15:22:06 補充：
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Let f(x) = x(x^2+1)Q(x) + ax^2 + bx + c.
f(0) = 0 x (1) x Q(0) + a(0) + b(0) + c = 0 (given).
Therefore, c = 0. That is
f(x) = x(x^2+1)Q(x) + ax^2 + bx.
Put x^2 + 1 = 0 , that is x= sqrt(-1) = i, the imaginary number.
f(i) = i x (0) x Q(i) -a +bi = -a + bi = 2(i) -3 = -3 +2i.
Therefore, a = 3 and b= 2.
Therefore, the remainder when f(x) divided by x(x^2 +1) is 3x^2 + 2x.