怎樣計算正多邊形的面積？

假設O為正多邊形的重心(中間點)
設ABC是正三角形,ABCD是正四邊形,ABCDE是正五邊形,如此類推

由於是正多邊形的關係,每一條由角連至O的條的長度應該相等
i.e. OA=OB=OC=... ...-----------------(1)

亦由於正多邊形的關係,AB=BC=CD=... ...-----------------(2)

由(1)&(2),ΔOAB,ΔOBC,ΔOCD,... ...是全等的等腰三角形

因此,如果正多邊形有n條邊的話
正多邊形的面積=n(ΔOAB的面積)

所以,若要找正多邊形的面積,只需要找ΔOAB的面積再乘以n便是

n∠AOB = 360 (同頂角 ∠s at a pt.)
∠AOB = 360/n

圖片參考：http://x2f.xanga.com/934c86f547c34193656369/w149372038.jpg

如圖,設M為AB的中點
ΔOAB的面積 = 1/2 r r sin(360/n) = r^2 sin(360/n)/2

但每次要找r也要連一條線到O,比較麻煩
所以in terms of a會比in terms of r好

a/2r = sin(180/n)
r = a/[2sin(180/n)]

∴ΔOAB的面積 = {a/[2sin(180/n)]}^2 sin(360/n)/2
∴正多邊形的面積 = n{a/[2sin(180/n)]}^2 sin(360/n)/2
　an sin (360/n)
=－－－－－－－
　8 sin (180/n)
而n是正多邊形的邊數,a為邊長

2008-06-13 20:22:41 補充：
an^2 sin (360/n)

=－－－－－－－

　8 sin^2 (180/n)

圖: http://x2f.xanga.com/934c86f547c34193656369/w149372038.jpg

2008-06-13 21:46:48 補充：
留意n心須為大於2的整數
i.e.只可以是3,4,5,... ...,n條邊的正多邊形
不適用於二邊形、一邊形、負三邊形等(因為ΔOAB不能形成)

n^3/2tan(360o/2n)

正多邊形：正五邊形其中一邊長＝周界／｛５｝　
　　　　　正五邊形每隻角＝１８０－（３６０／｛５｝）＝１０８
　　　　　正五邊形面積＝｛５｝ｘ（其中一邊長／２）ｘｔａｎ（１０８／２）

　　　　　正六邊形其中一邊長＝周界／｛６｝　
　　　　　正六邊形每隻角＝１８０－（３６０／｛６｝）＝１２０
　　　　　正六邊形面積＝｛６｝ｘ（其中一邊長／２）ｘｔａｎ（１２０／２）
　　　　

　　　　 正七邊形其中一邊長＝周界／｛７｝　
　　　　　正七邊形每隻角＝１８０－（３６０／｛７｝）＝（９００／７）
　　　　　正七邊形面積＝｛７｝ｘ（其中一邊長／２）ｘｔａｎ（４５０／７）

　　　　　正八邊形其中一邊長＝周界／｛８｝　
　　　　　正八邊形每隻角＝１８０－（３６０／｛８｝）＝１３５
　　　　　正八邊形面積＝｛８｝ｘ（其中一邊長／２）ｘｔａｎ（１３５／２）
　　　　　　　
　　　　　正ｘ邊形其中一邊長＝周界／ｘ
　　　　　正ｘ邊形每隻角＝１８０－（３６０／ｘ）　　　　　
　　　　　
圖片參考：http://i283.photobucket.com/albums/kk288/byfrgnhvt/111-1.gif
　　



2008-06-16 20:07:19 補充：
此公式適用於正三角形或以上所有正多邊形

如果只知道邊長，可以計算

n(1/2)x邊長x邊長xsin角度

n指圖形一共有幾邊
e.g.求正六邊形的面積,邊長6cm
正六邊形的角度60度

正六邊形的面積
=6x(1/2)x6x6xsin60°
=54(根號3)cm二次

Let length of one side of the n-sided regular polygon = l, then area of the polygon=nl^2/[4tan(180/n)].

拆開佢，再用可以計到面積既形狀計算，我係咁計