以實根式表示sin10°

(cosx+isinx)^6=cos6x+isin6x
LHS=cos^6x+6cos^5x(isinx)+15cos^4x(i²sin²x)+20cos³x(i³sin³x)+
15cos²x(i^4sin^4x)+6cosx(i^5sin^5x)+i^6sin^6x
=cos^6x-15cos^4xsin²x+15cos²xsin^4x-sin^6x+imaginary terms
∴cos6x=cos^6x-15cos^4xsin²x+15cos²xsin^4x-sin^6x
=(1-sin²x)³-15(1-sin²x)²sin²x+15(1-sin²x)sin^4x-sin^6x
=1-3sin²x+3sin^4x-sin^6x-15sin²x(1-2sin²x+sin^4x)+15sin^4x-
15sin^6x-sin^6x
=1-3sin²x+3sin^4x-sin^6x-15sin²x+30sin^4x-15sin^6x+15sin^4x-
15sin^6x-sin^6x
=1-18sin²x+48sin^4x-32sin^6x
=2-18sin²x+48sin^4x-32sin^6x-1
=(1-sin²x)(2-16sin²x+32sin^4x)-1
∴cos6x+1=(1-sin²x)(2-16sin²x+32sin^4x)
For x=10°
3/4=(1-sin²10°)(1-4sin²10°)²
3/4=[(1-sin²10°)(1-4sin²10°)]²/cos²10°
(sqrt3/2)(cos²10°)=cos²10°+sin²20°
(sqrt3/2)(cos²10°)=cos²10°+(1-cos²20°)
sqrt(3/2)(cos²10°)=cos²10°+[1-(2cos²10-1)²]
sqrt(3/2)(cos²10°)=cos²10°-4cos^4(10°)+4cos²10°
sqrt(3/2)=5-4cos²10°-------(1)
cos3x=4cos³x-3cosx
∴cos30°=4cos³10°-3cos10°--------(2)
Sub(1)in (2)
5-4cos²10°=4cos³10°-3cos10°
4cos³10°+4cos²10°-3cos10°-5=0
(cos10°-1)(4cos²10°+8cos10°+5)=0
4cos²10°+8cos10°+5=0
(cos²10°+2cos10°+1)=-1/4
(cos10°+1)=i/2
cos10°=i/2-1
cos²10°=i²/4-i+1
sin²10°=i-i²/4
sin²10°=i+1/4, which is not in real surd form
∴sin10° cannot be represented in surd form

sin3*10=sin30
sin(2*10+10)=1/2
sin2*10cos10+sin10cos2*10=1/2
2sin10cos^2(10)+sin10(1-2sin^2(10))=1/2
2sin10cos^2(10)+sin10-2sin10sin^2(10)=1/2
sin10(2cos^2(10)-2sin^2(10)+1)=1/2
sin10(2cos10+1)=1/2
8sin^3(10)-3sin10+1=0
唔識解呢條方程

sin10°或cos10°都是无法用带根号或是分式的形式表示的,也就是说没有其他的实函数表示形式.虽然有复数形式的表示,实际也是没有用的,因为那个式子不能用于计算,最后还是要化为三角函数的形式.证明有点麻烦,那要求你平时对三次方程很有研究才行.

下面我简单的说一下:
对于sin3θ=3sinθ-4sin³θ
令θ=10°,那么得到方程:
4sin³θ-3sinθ+1/2=0,化为标准形式:
sin³θ-3/4sinθ+1/8=0
此方程的判别式Δ=(-3/4)³/27+(1/8)²/4=-3/256<0

这说明原方程有三个根,并且这三个根只能用三角函数或是双曲函数表示,虽然也可以表示成复数的形式:(³√(-4+4√3i)+³√(-4-4√3i))/4
按照复数的定义展开实际上是三个数,但是要注意,上面那个数虽然是实数,但是很不好计算(要用到复数的幂级数展开),所以一般还是表示成简单的实数形式,三个根为-cos20°,cos40°,sin10°

同样的cos10°也不能用其他的实函数形式表示,由倍角公式可以推出2倍角,4倍角都不能用其他的实函数表示.

所以说以上列出的都是最简单的实函数形式,不能再用其他的实函数表示了.