which of the following is the smallest?

3^4000 = e^(4000ln3) = e^4394
4^3000 = e^(3000ln4) = e^4159
6^2000 = e^(2000ln6) = e^3584
12^1000 = e^(1000ln12) = e^2485

All the powers are corrected to the nearest integer.

Therefore, the answer is (a).

題目的特別之處，在於全部可選答案都是這樣的形式：

x^(12000/x)，當中 x 是正數。

Let f(x) = x^(12000/x), where x is positive.

ln f(x) = 12000 ln x / x
x ln f(x) = 12000 ln x
ln f(x)＋x f’(x)/f(x) = 12000 / x
f’(x) = [12000/x - ln f(x)]f(x) / x = 0 only if
f(x) = 0 (rejected)
or x ln f(x) = 12000
12000 ln x = 12000
ln x = 1
x = e.

這樣，我們很容易就知道：
f(x) attains its maximum (the only optimum) value when x = e.

答案 (a), (b), (c) 和 (d) 的 x 值分別是 3, 4, 6 和 12，全都大於 e，所以在裡面，x 值最接近 e 的答案 (a) 是最大的，而答案 (b), (c) 和 (d) 則一個比一個小。

2008-06-10 15:56:29 補充：
噢！不好意思，應該是找最小的，而不是最大的！
所以答案自然就應該是 (d) 了。

2008-06-10 15:56:50 補充：
回應知識長 myisland8132 的回答：
雖然 log function 是 monotonic increasing function，但也不足以證明答案 (d) 是答案；
或者說，可能足以證明，但你的描述實在不足。

回應 wkm123235347 的回答：
相當精簡，而且足以在這一題裡找出正確答案，是我非常欣賞的。
不過當遇到類似以下的題目，同一方法恐怕並不適用：
Which of the following is the smallest?
a. 7^3000
b. 8^2000
c. 9^1500
d. 10^1200

2008-06-10 15:57:16 補充：
當我看到出題者發問何謂 log，恐怕對我的答案也會不明所以了。
就這一道問題以及出題者的角度而論，wkm123235347 的回答似乎是最適合的。

d is the smallest

a.3^4000=3^2000*3^2000

b.4^3000=2^2000*4^2000

c. 6^2000=2^2000*3^2000

d. 12^1000=2^2000*3^1000

compare a and c, a is larger because 3^2000 is larger that 2^2000,similarly
b is also larger than c. But c is lager than d because 3^1000 is smaller than
3^2000.

using log to consider this problem

Since 4000log3>3000log4>2000log6>1000log12

And log is a monotonic increasing function

So 12^1000 is the smallest

The answer should be D

2008-06-10 14:46:09 補充：
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