Application in different aspects of golden ratio

黃金數的方程

優選法中﹐½ (sqrt(5)+1) = 1.618033989﹐這無理數就是黃金數


使用你的計算機去尋找黃金數﹕

輸入"1"

7 bytes)" width="17" height="16"> 加 "1" ﹐取倒數

加 "1" ﹐取倒數

加 "1" ﹐取倒數

不斷重複上述計算﹐便能逼近黃金數






黃金分割

相對一固定長度的線段﹐如圖﹕使 AC : AB = BC : AC 這就是黃金分割﹐如果﹕

AC=1, AB=1.618, BC=0.618。另外﹐若AB為一條弦線﹐在C點附近彈奏﹐琴聲就最為悅

耳。因此﹐這種分割法又稱為弦分割。



證明﹕我們假設了AC : AB = BC : AC﹐即AB : AC = AC : BC , 而且 AC + BC = AB

所以﹕

(BC + AC)/AC = AC/BC

BC/AC+AC/AC = AC/BC

sqr(BC/AC)+BC/AC - 1 = 0

BC/AC= ½ [sqrt(5)+1] = 0.618 (BC/AC>0)



黃金矩形



一矩形的長和寬的比是 ½ [sqrt(5)+1] : 1的話﹐這就是黃金矩形



斐波那契數列



斐波那契於公元1175年生於義大利的地薩﹐他是中世紀中最有名的數學家。他在1202年完成了一本關於算術數系的書﹐書中已提及斐波那契數列(這數列是由一名法國數學家替其命名的。)。他是在研究兔的繁殖時發現此數列的。

這數列的每一個數都是前兩數的和﹐即﹕

0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , ......

把數列中的每個數字都用之前的一個數去除﹐最終可以逼近黃金數。如表﹕

　

Number(Xn)
Ratio
Rmk :

Xn+1/Xn

1
　 　
1
1.000000
1/1

2
1.500000
3/2

3
1.666667
5/3

5
1.600000
8/5

8
1.625000
13/8

13
1.615385
21/13

21
1.619048
34/21

34
1.617647
55/34

55
1.618182
89/55

89
1.617978
144/89

144
1.618056
233/144

233
1.618026
377/233

377
1.618037
610/377

610
1.618033
987/610

987
1.618034
1597/987

1597
1.618034
2584/1597

2584
1.618034
4181/2584

4181
1.618034
6765/4181

6765
1.618034
　

用圖解述上列表﹕