以前的數學家是如何求平方根的呢?

我比唔到一個general既解釋你...比個例子你啦

√788544

1) 估算。

先縮窄範圍：
800^2 = 640000
900^2 = 810000
640000 少於 788544 少於 810000
800^2 少於 788544 少於 900^2
800 少於 √788544 少於 900
即係一定係800幾。

850^2 = 722500 小於 788544 小於 900^2
880^2 = 774400 小於 788544 小於 900^2
890^2 = 792100 大於 788544 大於 880^2

788544 ，尾數係4。
2x2 = 4 或者 8x8 = 64
即係只有2字尾或8字尾的數的2次方才 = 788544
因為 890^2 大於 788544 大於 880^2
只可以是882^2 或 888^2
只要乘出這兩數可知
777924 = 882^2
788544 = 888^2//

或
2) 分解
788544
= 4 x 197136
= 4 x 4 x 49284
= 4 x 4 x 4 x 12321
= 4 x 4 x 4 x 111 x 111
= 64 x 111 x 111
= 8 x 8 x 111 x 111
√788544
= √(8 x 111)^2
= 8 x 111
= 888//

其實以上001至004號的答題人所用的幾個方法，只適合求出一個完全平方數(如4, 16, 625之類)的平方根，如要求非完全平方數(如72, 531)的平方根就不適用了。
平方根是有筆算方法的，原理是根據 (10x 十 y)^2 = 100x^2 十 20xy 十 y^2，這個原理是先從最大的位值選數，從而逐個位值去逼近平方根的真值。
如 求248的平方根，先將小數點前分成2個位一組，就得2 為第一組及48為第二組，接著像除法一樣求一個數自乘最接近第一組的2，得1乘1等於1，相減得1，這個差的1現在與第二組的48一起構成148, 而那個自乘的1則乘大20倍得20，這個20現在要加上一個個位數a，再乘上這個a 即 (20十a)*a，選一個a去逼近148，得 a = 5 (因25*5 = 125)，現在得到近似答案 15(第一個自乘的1及第二個a = 5所構成)，小數位右方的計法相同，以兩個數字為一組的去計，可以在小數部分繼續逼近248的平方根。
這是可以用一條直式做的，但文字很難表達，sorry！

There is an exact method that we used to learn at high school.
I have given two examples, one for the given problem of 788544, and the other one for square root of 2 to 5 decimal places. You can continue if you wish.
The examples are posted here:
http://i263.photobucket.com/albums/ii157/mathmate/math/7008052402793.jpg

用知道的平方數, 如4, 9 ,16...

如144的平方根

144/ 4 = 36

36 = 6 x 6

故144 = 4 x 36
= (2 x 2) x (6 x 6)

144的平方根 = 2 x 6
= 12


788544 = 144 x 5476

= 144 x 4 x 1369

= (12 x 12) x (2 x 2) x (37 x 37)

788544的平方根 = 12 x 2 x 37

= 888

2008-05-24 21:32:08 補充：
以前的數學家, or 20年前的中學生, 先計1 - 100 的平方數, then 查出 + 計算 求出一個數值的平方根

very poor....

短除 (註: 唔識打短除個符號, L是包往36, 18, 9, 9)

以36為例
2 L 36
2 L 18
3 L 9
3

你見到36為 2 X 2 X 3 X 3
故平方根只取一半即 2 X 3 = 6

√788544 ＝

首先如果我沒有計數機
我會想一想
什麼數自乘是4?
只有2和8

但這裡的想法實在太小朋友

我是一位中一生的話
我會先想
788544是由那兩個數組成
我把他除8, 得出98568
再把98568除8, 得出12321
即是8*8*12321
而12321是111*111 (111 自乘是有特別的規律, 不信的話可以試下)
即係8^2 * 111 ^2
指數相同的話
可以直接乘, 但要保留相同指數
即係888^2
開方888^2
答案自然是888



有一個公式是計算平方根的
但我很小時學
現在都不記得了