牛頓的積分法證明

牛頓第一運動定律說，行星的軌道為橢圓，太陽居其兩焦點之一。第二運動定律說，行星與太陽的聯線在定時間內掃過相同的面積。第三運動定律說，對所有的行星而言，其週期 T 與軌道的平均半徑（即半長軸）R 都有如下的關係： T2/R3 為定比（不因行星而不同）。
假定了向心力，面積律就成為必然的結果。






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圖一

假定經過一秒鐘後，行星從 P0 走到 P1。假定太陽 S 並沒對行星施以任何力量，則根據 Galilei 的慣性原理，行星會繼續走直線等速運動。因此在下一秒鐘，從 P1 走到 P2 的距離 P1 P2 與 P0 P1 相等。兩三角形
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因為等底等高，所以面積相等，亦即面積律成立。






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圖二

然而行星並不走直線。如圖二，假定第二秒鐘，從 P1 走到 P'2，則行星改變的方向為 P2P'2；若假定了面積律，則
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相等，故得面積律。
行星運行的軌道大致為圓形，半徑大約為 R。運動大致是等速的，其角速度假定為 ω，則向心力為
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，而且 T2/R3=k 為定值－Kepler 的第三運動定律（週期律），所以



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引力的大小與距離的平方成反比。
因為受到地心引力的影響，地面附近的物體呈拋物線運動，其向心加速度為 32呎/秒2。水平速度愈大，則飛行愈遠才落地，而當大到一個程度後，它會繞著地球轉，所以月球繞地球旋轉似乎和蘋果受到同樣的地心引力。






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圖三

月球距地心為地球半徑的60倍，所以，引力若遵行平方反比律，則月球的向心加速度為32呎/秒2 的 1/602。另一方面，月球週期已知，只要地球大小知道，月球近乎圓形的軌道大小就可得，而其向心力就可算得。如果這兩種算法所得的結果相近，則平方反比律就不只是太陽的引力，而是萬物間的引力都要遵行的。Picard（Jean, 1620～1682年）利用 Erathosthenes 測量地球大小的原理，只是用一顆恆星代替了太陽，而於1671年得到更正確的地球半徑長3950哩（很接近於現值），所以牛頓可以重新計算月球的向心加速度：



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此向心加速度正好是地面向心加速度32呎/秒2的1/602。這是支持引力之萬有的想法，及引力都遵行平方反比律的最好例證。






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圖四

牛頓的煩惱是個積分技巧的問題，現在他也能夠順利解決: 假設萬有引力常數（在適當的單位取法下）為 1，球半徑為 R，距球心 ρ 處的密度為
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對距離 r 處質點 P 的引力在 OP 方向的分力為（因為對稱的關係，只要考慮這個方向就好了）：



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所以整個球對質點 P 的引力為



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α 與 r 都和 θ、ρ 有關，所以該化成為它們的函數，才能開始積分。然而這樣的積分是積不出來的，這正是牛頓當初的煩惱。
解決之道在於把變數θ及α都換成變數r：



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由後一式得



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將這些式子代入積分式得



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